\documentclass[a4paper, oneside, 10pt]{article}
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\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage{longtable}
\usepackage{listings}
\date{\today}
\title{}
\author{}
\begin{document}


\begin{itemize}
  \item Tutorial
  \item  Exercícios
  \item  Apostila  
\end{itemize}


\section{\texorpdfstring{7. Modelos Lineares}{7 Modelos Lineares}}
\label{sec:7_modelos_lineares}


São chamados modelos lineares aqueles que apresentam uma relação entre variáveis que seja \textbf{linear nos parâmetros}.  Essa linearidade implica que
\textbf{matematicamente} a variação de cada um dos parâmetros é independente dos demais parâmetros do modelo.

Em termos gerais, podemos reconhecer dois grandes grupos clássicos de modelos lineares:
\begin{itemize}
  \item \textbf{Modelos de Regressão}.
  \item \textbf{Modelos de Análise de Variância}.
\end{itemize}


Nesse tópico utlizaremos os arquivos de dados:
\begin{itemize}
  \item  Levantamento em caixetais: \href{media/dados/caixeta.csv.pdf}{caixeta.csv (apagar extensão .pdf)}
  \item  Dados de biomassa de árvores: \href{media/dados/esaligna.csv.pdf}{esaligna.csv (apagar extensão .pdf)}
  \item  Inventário em florestas plantadas:\href{media/dados/egrandis.csv.pdf}{egrandis.csv (apagar extensão .pdf)}
  \item  Experimento sobre o crescimento de mudas em viveiro. \href{media/dados/altura-mudas.csv.pdf}{altura-mudas.csv (apagar extensão .pdf)}
\end{itemize}


\subsection{\texorpdfstring{Regressão Linear}{Regressao Linear}}
\label{sec:regressao_linear}


Os modelos lineares de regressão são utilizados para modelar a relação entre variáveis quantitativas:
\begin{itemize}
  \item \textbf{Variável Resposta} (\emph{y}): variável quantitativa (também chamada de variável dependente).
  \item \textbf{Variáveis Preditoras} (\emph{x}): variáveis quantitativas (também chamadas de variáveis independentes).
\end{itemize}


\subsubsection{\texorpdfstring{A função 'lm'}{A funao lm}}
\label{sec:a_funao_lm}


A função utilizada para construir modelos lineares de regressão é a função \texttt{'lm}' que tem os seguintes argumentos principais:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

            lm( formula, data, weights, subset, na.action )
\end{lstlisting}


\begin{itemize}
  \item \texttt{'formula}' - é uma \textbf{fórmula estatística} que indica o modelo a ser ajustado.  Possui a mesma forma básica que foi vista na funções gráficas.
  \item \texttt{'data}' - o conjunto de dados (\texttt{data.frame}).
  \item \texttt{'weights}' - são os \emph{pesos} para regressão ponderada.
  \item \texttt{'subset}' - um vetor com as condições que definem um \textbf{sub-conjunto} dos dados.
  \item \texttt{'na.acation}' - função que especifica o que fazer no caso de observações perdidas (\texttt{NA}).  O valor default é \texttt{'na.omit}' que elimina as linhas (observações) que possuem observações perdidas nas variáveis definidas na fórmula.
\end{itemize}


Vejamos um exemplo simples:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

> egr = read.csv("egrandis.csv",header=T)
> egr[1,]
    especie rot   regiao  inv faz proj talhao parcela arv fuste cap ht hdom
1 E.grandis   1 Botucatu 1995  36   33      1       1   1     1  57 27   NA
    idade carac      dap
1 7.49315     N 18.14366
>
> hipso1 = lm( ht ~ dap, data=egr )
> class(hipso1)
[1] "lm"
>  
\end{lstlisting}



\paragraph{\texorpdfstring{Uma Palavra sobre o Argumento 'formula'}{Uma Palavra sobre o Argumento formula}}
\label{sec:uma_palavra_sobre_o_argumento_formula}


O argumento fórmula nos modelos lineares é bastante diverso das fórmulas matemáticas usuais.  Nesse argumento, sinais de mais e de menos, símbolos como circunflexo (\textasciicircum{}) e asterisco (*)  têm significado bastante diferente dos significados usuais matemáticos.

Apresentaremos agora alguns aspectos básicos do argumento:
\begin{itemize}
  \item \texttt{'y \textasciitilde{} x}' indica: \emph{modele y como \textbf{função estatística} de x};
  \item \texttt{'y \textasciitilde{} x1 + x2}' indica: \emph{modele y como \textbf{função estatística} das variáveis x1 e x2} (efeito aditivo dos modelos lineares);
\end{itemize}


Se quisermos utilizar os símbolos matemáticos no sentido matemático usual \textbf{dentro} de uma fórmula estatística, temos que utilizar
a função \texttt{'I()}':
\begin{itemize}
  \item \texttt{' y \textasciitilde{} I( x1\textasciicircum{}2 * x2\textasciicircum{}3 )}' indica: \emph{modele y como função estatística \textbf{da variável} (x1\textasciicircum{}2 * x2\textasciicircum{}3)};
  \item \texttt{' y \textasciitilde{} I( x1 / x2 )}' indica: \emph{modele y como função estatística \textbf{da variável} (x1/x2)};
\end{itemize}


No caso de utilizarmos \textbf{funções matemáticas} específicas a função \texttt{'I()}' torna-se desnecessária:
\begin{itemize}
  \item \texttt{'log(y) \textasciitilde{} log(x)}' indica: \emph{modele o \textbf{log(y)} com função estatística da variável \textbf{log(x))}};
  \item \texttt{'log(y) \textasciitilde{} log(x1\textasciicircum{}2 * x2)}' indica: \emph{modele o \textbf{log(y)} com função estatística da variável \textbf{log(x1\textasciicircum{}2 * x2))}};
\end{itemize}


Mais detalhes sobre o argumento \texttt{'formula}' serão apresentados mais adiante.

\paragraph{\texorpdfstring{Exercícios}{Exercicios}}
\label{sec:exercicios}
 \emph{\textbf{Exercício:} Relação Diâmetro-Altura em Florestas Plantadas} 
Ajuste um modelo de regressão linear simples da altura (\texttt{ht}) em função do DAP (\texttt{dap}) das árvores de floresta plantada
() para cada uma das rotações (\texttt{rot}).
 \emph{\textbf{Exercício:} Equação de Biomassa para Árvores de Eucalyptus saligna} 
Utilizando o conjunto de dados de \emph{E. Saligna} (), construa um modelo de regressão da biomassa do tronco das árvores (\texttt{tronco}') em função do diâmetro (\texttt{dap}) e altura (\texttt{ht}), utizando dois modelos:
$$b_i = \beta_0 + \beta_1 (d_i^2\, h_i) + \varepsilon_i$$

e

$$\ln( b_i ) = \beta_0 + \beta_1 \ln(d_i) + \beta_2 \ln(h_i) + \varepsilon_i$$

onde:
\begin{itemize}
  \item b\_i é biomassa do tronco;
  \item d\_i é o DAP da árvore;
  \item h\_i é a altura toral da árvore;
\end{itemize}


\subsubsection{\texorpdfstring{Funções que Atuam sobre Objetos 'lm'}{Funoes que Atuam sobre Objetos lm}}
\label{sec:funoes_que_atuam_sobre_objetos_lm}


O objeto produzido pela função \texttt{'lm}' tem classe \texttt{'lm}' (\emph{linear model}), ou seja é um modelo linear.  Como modelo linear, esse objeto receberá tratamento particular se utilizarmos algumas funções básicas sobre ele.
\begin{itemize}
  \item \textbf{summary:} a função \texttt{'summary}' apresenta um resumo do modelo linear com:

  \begin{enumerate}
          \item estatísticas descritivas dos resíduos;
          \item teste \emph{t} dos coeficientes de regressão;
          \item erro padrão da estimativa;
          \item coeficiente de determinação e coef. de det. ajustado;
          \item teste \emph{F} geral do modelo.
        \end{enumerate}
        \end{itemize}
\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

> summary( hipso1 )

Call:
lm(formula = ht ~ dap, data = egr)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max
-12.9306  -2.1109  -0.5408   1.6642  20.9390

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)  0.79604    0.12120   6.568 5.63e-11 ***
dap          1.27232    0.01006 126.459  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 3.093 on 4800 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.7691,     Adjusted R-squared: 0.7691
F-statistic: 1.599e+04 on 1 and 4800 DF,  p-value: < 2.2e-16
\end{lstlisting}


                  \begin{itemize}
  \item \textbf{anova:} a função \texttt{'anova}' apresenta a Tabela de análise de variância, tendo as variáveis preditoras como fatores:
\end{itemize}
\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

> anova( hipso1 )
Analysis of Variance Table

Response: ht
            Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)
dap          1 153020  153020   15992 < 2.2e-16 ***
Residuals 4800  45929      10
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
\end{lstlisting}


\begin{itemize}
  \item \textbf{plot:} a função \texttt{'plot}' apresenta uma série de gráficos para análise do modelo.  Ela possui o argumento \texttt{'which}' que define quais dos seis gráficos pré-definidos se deseja ver:
\end{itemize}
\begin{longtable}{|l|l|l|}
\hline
\textbf{ which } & \textbf{ O que a função faz } & \textbf{ Verificação do modelo } \\ 
\hline
 
 \texttt{which=1}  &  gráfico de dispersão resíduo versus valor ajustado  &  Linearidade na relação x-y  \\ 
\hline
 
 \texttt{which=2}  &  gráfico quantil-quantil normal dos resíduos  &  Normalidade  \\ 
\hline
 
 \texttt{which=3}  &  gráfico de dispersão da raiz quadrada do valor absoluto do resíduo padronizado versus valor ajustado  &  Homogeneidade de variâncias  \\ 
\hline
 
 \texttt{which=4}  &  distância de Cook por observação  &  Observações influentes  \\ 
\hline
 
 \texttt{which=5}  &  gráfico de dispersão do resíduo padronizado versus \emph{leverage} (medida de influência) , com a distância de Cook  &  Observações influentes  \\ 
\hline
 
 \texttt{which=6}  &  gráfico de dispersão da distância de Cook versus \emph{leverage} (medida de influência)  &  Observações influentes  \\ 
\hline
 
\end{longtable}



O valor default do argumento \texttt{which} é \texttt{'which = c(1:3, 5)}'.\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

> plot( hipso1 )
Hit <Return> to see next plot:
Hit <Return> to see next plot:
Hit <Return> to see next plot:
Hit <Return> to see next plot:
> 
\end{lstlisting}


\begin{itemize}
  \item \textbf{coef:}  a função \texttt{'coef}' retorna os coeficientes de regressão do modelo linear:
\end{itemize}
\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

> coef( hipso1 )
(Intercept)         dap
  0.7960402   1.2723242
> 
\end{lstlisting}



 * \textbf{residuals:} a função \texttt{'residuals}' (também pode ser evocada por \texttt{'resid}') retorna os resíduos do modelo linear.
 * \textbf{fitted:} a função \texttt{'fitted}' (também pode ser evocada por \texttt{'fitted.values}') retorna os \emph{valores ajustados} do modelo linear.\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

> plot( resid( hipso1 ) ~ fitted( hipso1 ) )
\end{lstlisting}



 * \textbf{predict:} a função \texttt{'predict}' retorna os valores \emph{preditos} para novas observações:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

> predict( hipso1, data.frame( dap=c(10,50,100) ) )
        1         2         3
 13.51928  64.41225 128.02846
>
> predict( hipso1, data.frame( dap=range(egr$dap) ) )
        1         2
 6.060955 38.055431
>       
\end{lstlisting}



\paragraph{\texorpdfstring{Exercícios}{Exercicios}}
\label{sec:exercicios2}
 \emph{\textbf{Exercício:} Analisando os Modelos de Regressão} 
Utilizando as funções apresentadas acima analise os modelos de regressão construídos nos exercícios anteriores com relação a:
\begin{enumerate}
  \item adequação das pressuposições dos modelos lineares;
  \item significância das estimativas dos coeficientes de regressão;
  \item qualidade dos modelos para uso em predições.
\end{enumerate}
 \emph{\textbf{Exercício:} Realizando Predições} 
Considere as árvores da tabela abaixo:
\begin{longtable}{|l|l|l|}
\hline
\textbf{ Árvore } & \textbf{ DAP } & \textbf{ Altura } \\ 
\hline
 
 1  &  10 cm  &  12 m  \\ 
\hline
 
 2  &  20 cm  &  25 m  \\ 
\hline
 
 3  &  30 cm  &  40 m  \\ 
\hline
 
\end{longtable}



Faça a predição da biomassa do tronco das árvores com base nos dois modelos de equação de biomassa ajustados.

\subsubsection{\texorpdfstring{Regressão Ponderada}{Regressao Ponderada}}
\label{sec:regressao_ponderada}


A regressão ponderada é utilizada para corrigir o problema de heterogeneidade de variâncias.

Consideremos o exercício do modelo de equação de biomassa do tronco em função do diâmetro e altura.  O modelo original apresenta claramente
problemas com a pressuposição de homogeneidade de variâncias:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

> esa = read.csv("esaligna.csv",header=T)
> plot( lm( tronco ~ I(dap^2 * ht), data=esa ) , which=c(1,3) )
Hit <Return> to see next plot:
Hit <Return> to see next plot:
>
\end{lstlisting}



Se o modelo for ponderado por uma potência do inverso da variável preditora ( \texttt{1/(dap\textasciicircum{}2 * ht)} ), talvez se torne um modelo com variância homogênea.\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}


> plot( lm( tronco ~ I(dap^2*ht), data=esa, weights=1/(dap^2*ht)^0.5 ), which=3 )
> plot( lm( tronco ~ I(dap^2*ht), data=esa, weights=1/(dap^2*ht)^0 ), which=3 )
> plot( lm( tronco ~ I(dap^2*ht), data=esa, weights=1/(dap^2*ht)^1 ), which=3 )
> plot( lm( tronco ~ I(dap^2*ht), data=esa, weights=1/(dap^2*ht)^2 ), which=3 )
> plot( lm( tronco ~ I(dap^2*ht), data=esa, weights=1/(dap^2*ht)^3 ), which=3 )
>
\end{lstlisting}



Qual dos valores de potência (0.5; 0; 1; 2; 3) lhe parece mais adequado?

\paragraph{\texorpdfstring{Exercícios}{Exercicios}}
\label{sec:exercicios3}
 \emph{\textbf{Exercício:} Modelos de Biomassa para Eucalyptus saligna} 
Utilizando o mesmo modelo do exemplo acima, ajuste modelos de equação de biomassa para
\begin{enumerate}
  \item \textbf{biomassa total} (\texttt{total}) e
  \item \textbf{biomassa de ramos} (\texttt{sobra}),
\end{enumerate}


de modo que os modelos não possuam problema de heterogeneidade de variância.

\subsubsection{\texorpdfstring{Variável Factor como Variável Indicadora (dummy)}{Variavel Factor como Variavel Indicadora dummy}}
\label{sec:variavel_factor_como_variavel_indicadora_dummy}


Uma forma de incluirmos variáveis categóricas em modelos de regressão é através do uso de \textbf{variáveis indicadoras}.  Para isso, as variáveis categóricas no R devem ser vistas como uma variável \texttt{'factor}'.

A variável \texttt{'factor}' indica uma variável que possui \textbf{níveis} (\texttt{levels}) sendo, portanto, uma variável categórica típica dos modelos estatísticos.   

Esse tipo de variável existe no R para tornar mais fácil a modelagem estatística.  Assim, quando o R lê um conjunto de dados e encontra uma
variável \textbf{alfa-numérica}, ele automaticamente assume que se trata de uma variável \texttt{'factor}'.

Vejamos como exemplo os dados de inventário floresta em floresta plantada:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

> egr = read.csv("egrandis.csv",header=T)
>
> names(egr)
 [1] "especie" "rot"     "regiao"  "inv"     "faz"     "proj"    "talhao"
 [8] "parcela" "arv"     "fuste"   "cap"     "ht"      "hdom"    "idade"
[15] "carac"   "dap"
> 
> class( egr$regiao )
[1] "factor"
> class( egr$especie )
[1] "factor"
> class( egr$rot )
[1] "integer"
> class( egr$faz )
[1] "integer"
>
\end{lstlisting}



Note que as variáveis \texttt{'regiao} e \texttt{'especie}' foram assumias como \texttt{'factor}'.

Note também que as variáveis \texttt{'rot}' (rotação) e \texttt{'faz}' (fazenda) embora também sejam variáveis categóricas, elas foram codificadas por números inteiros e, consequentemente, o R assumiu tratar-se de variáveis quantitativas.

Nos \textbf{modelos lineares de regressão}, as variáveis \texttt{'factor}' podem ser assumidas automaticamente como variáveis indicadoras (variáveis dummy).\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

> hipso2 = lm( ht ~ dap + regiao, data=egr )
> summary( hipso2 )

Call:
lm(formula = ht ~ dap + regiao, data = egr)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max
-10.6196  -1.6235  -0.3575   1.2476  19.5109

Coefficients:
                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)     5.079650   0.145714   34.86   <2e-16 ***
dap             1.116119   0.009403  118.70   <2e-16 ***
regiaoBotucatu -3.627353   0.100221  -36.19   <2e-16 ***
regiaoItatinga -3.827592   0.100715  -38.00   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 2.647 on 4798 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.831,      Adjusted R-squared: 0.8309
F-statistic:  7866 on 3 and 4798 DF,  p-value: < 2.2e-16
\end{lstlisting}



Nesse caso (\texttt{'ht \textasciitilde{} dap + regiao}') a variável região entrou alterando o \textbf{intercepto} da regressão entre altura (\texttt{ht}) e diâmetro (\texttt{dap}).

Note que além do coeficiente de inclinação para variável \texttt{'dap}' aparecem coeficientes de regressão associados às variáveis \texttt{'regiaoBotucatu}' e  \texttt{'regiaoItatinga}'.  O que significa isso?

O modelo ajustado pela fórmula \texttt{'ht \textasciitilde{} dap + regiao}' é:

$$h_i = \beta_0 + \beta_1 d_i + \beta_2 I_{\textrm{Botucatu}} + \beta_3 I_{\text{Itatinga}} + \varepsilon_i$$

onde:
\begin{itemize}
  \item \texttt{h\_i} é a altura das árvores;
  \item \texttt{d\_i} é o DAP das árvores;
  \item \texttt{I\_\{\textbackslash{}textrm\{Botucatu\}\}} é a variável indicadora para região Botucatu, isto é, ela tem valor \textbf{1} se a região for Botucatu e valor \textbf{0} (zero) se a região não for Botucatu;
  \item \texttt{I\_\{\textbackslash{}textrm\{Itatinga\}\}} é a variável indicadora para região Itatinga.
\end{itemize}


A variável região tem três níveis (\texttt{levels})\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

> levels(egr$regiao)
[1] "Bofete"   "Botucatu" "Itatinga"
>                                         
\end{lstlisting}



O R cria automaticamente 2 variáveis indicadoras, uma para Botucatu e outra para Itatinga, pois a região de Bofete (primeiro nível do fator) é assumida como o \emph{default}.

Como se utiliza o modelo para predição?
\begin{itemize}
  \item Para Bofete a predição é:  \texttt{\textbackslash{}widehat\{h\}\_i = \textbackslash{}beta\_0 + \textbackslash{}beta\_2 d\_i}
  \item Para Botucatu a predição é: \texttt{\textbackslash{}widehat\{h\}\_i = (\textbackslash{}beta\_0 + \textbackslash{}beta\_3) + \textbackslash{}beta\_2 d\_i}
  \item Para Itatinga a predição é: \texttt{\textbackslash{}widehat\{h\}\_i = (\textbackslash{}beta\_0 + \textbackslash{}beta\_4) + \textbackslash{}beta\_2 d\_i}
\end{itemize}


É possível ajustar um \textbf{modelo de interação completo} do diâmetro com a variável região, alterando o \emph{intercepto} \textbf{e} a \emph{inclinação} do modelo em cada regiões:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

> 
> hipso3 = lm( ht ~ dap * regiao, data=egr )
> summary( hipso3 )

Call:
lm(formula = ht ~ dap * regiao, data = egr)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max
-12.8439  -1.5492  -0.2357   1.2582  19.3736

Coefficients:
                   Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)         7.99813    0.20736  38.570  < 2e-16 ***
dap                 0.90370    0.01436  62.935  < 2e-16 ***
regiaoBotucatu     -9.03699    0.25969 -34.799  < 2e-16 ***
regiaoItatinga     -5.74018    0.29200 -19.658  < 2e-16 ***
dap:regiaoBotucatu  0.45060    0.01981  22.750  < 2e-16 ***
dap:regiaoItatinga  0.10746    0.02503   4.293 1.80e-05 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 2.508 on 4796 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.8484,     Adjusted R-squared: 0.8483
F-statistic:  5369 on 5 and 4796 DF,  p-value: < 2.2e-16

\end{lstlisting}



Note que se quisermos usar uma variável como indicadora, mas ela foi codificada como variável numérica, teremos que \textbf{forçar} sua transformação em
variável \texttt{'factor}':\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

 coef( lm( ht ~ dap * rot, data = egr ) )
 (Intercept)          dap          rot      dap:rot
 3.790676759  1.206524873 -1.556650365  0.004740839
>
>
> coef( lm( ht ~ dap * as.factor(rot) , data = egr ) )
        (Intercept)                 dap     as.factor(rot)2 dap:as.factor(rot)2
        2.234026394         1.211265712        -1.556650365         0.004740839
\end{lstlisting}



\paragraph{\texorpdfstring{Exercícios}{Exercicios}}
\label{sec:exercicios4}
 \emph{\textbf{Exercício:} Altura das Árvores Dominantes em Floresta Plantada} 
Considere o seguinte modelo (\emph{modelo de Schumacher}):

$$\ln( y_i ) = \beta_0 + \beta_1 (1/x_i) + \varepsilon_i$$

Ajuste esse modelo de regressão à altura das árvores dominantes (\texttt{hdom}) em função da idade (\texttt{idade}) das árvores da floresta plantada ().

Compare um modelo geral (ajustado a todos os dados) com um modelo ajustado por região.

Compare os resíduos do modelo geral com os resíduos do modelo por região, analisando \textbf{a distribuição do resíduo por região}. \emph{\textbf{Exercício:} Relação Altura-Diâmetro de Árvores de Caixeta} 

Ajuste modelos de regressão linear da altura (\texttt{'h}') em função do diâmetro (\texttt{'dap}') \textbf{somente para árvores de caixeta} (\emph{Tabebuia cassinoides}) nos diferentes caixetais (\texttt{'local}').

Considere nessa tarefa os seguintes modelos:
\begin{itemize}
  \item \textbf{Modelo A:}   $ h_i = \beta_0 + \beta_1 d_i + \varepsilon_i$
  \item \textbf{Modelo B:}   $ \ln( h_i ) = \beta_0 + \beta_1 \ln(d_i) + \varepsilon_i$
  \item \textbf{Modelo C:}   $ h_i = \beta_0 + \beta_1 d_i + \beta_2 d_i^2 + \varepsilon_i$
\end{itemize}


\subsection{\texorpdfstring{Análise de Variância}{Analise de Variancia}}
\label{sec:analise_de_variancia}


Os objetivos dos modelos lineares de análise de variância são bem diferentes dos modelos lineares de regressão.  Nos modelos de regressão a questão central é estimar parâmetros, seja para explicar relações, seja para fazer predições.

Nos modelos de análise de variância a questão é comparar a importância de \textbf{fatores} sobre o comportamento da variável resposta.

\subsubsection{\texorpdfstring{Experimento em Blocos Casualizados}{Experimento em Blocos Casualizados}}
\label{sec:experimento_em_blocos_casualizados}


Tomemos como exemplo os dados do experimento de mudas no viveiro ().  Nesse experimento temos os seguintes fatores:
\begin{itemize}
  \item Espécie (\texttt{'especie}'),
  \item Bloco (\texttt{'bloco}'), e
  \item Substrato (\texttt{'substrato}').
\end{itemize}


O experimento deseja saber se existe diferença entre os substratos no crescimento em altura (\texttt{'altura}') das mudas.  O delineamento foi em blocos casualizados (\texttt{'bloco}').

Para visualizar esse experimento podemos ler os dados do arquivo \href{media/dados/altura-mudas.csv.pdf}{altura-mudas.csv (apagar extensão .pdf)}, através da função \texttt{'plot}':\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

> 
> mudas = read.csv("dados/altura-mudas.csv",header=T)
> summary(mudas)
     especie       bloco       substrato        altura
 paineira:60   Min.   :1.0   Min.   : 1.0   Min.   : 15.40
 tamboril:60   1st Qu.:2.0   1st Qu.: 3.0   1st Qu.: 32.21
               Median :3.5   Median : 5.5   Median : 46.00
               Mean   :3.5   Mean   : 5.5   Mean   : 49.20
               3rd Qu.:5.0   3rd Qu.: 8.0   3rd Qu.: 65.00
               Max.   :6.0   Max.   :10.0   Max.   :105.12
> 
> 
> plot( altura ~ bloco + substrato , data=mudas , subset=especie=="paineira")
Hit <Return> to see next plot:
Hit <Return> to see next plot:
> 
> plot( altura ~ bloco + substrato , data=mudas , subset=especie=="tamboril")
Hit <Return> to see next plot:
Hit <Return> to see next plot:
>
\end{lstlisting}



Para ajustar um modelo linear num experimento, podemos utilizar a função \texttt{'lm}' como no caso da regressão linear:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

> muda.pai = lm( altura ~ as.factor(bloco) + as.factor(substrato), data=mudas, subset= especie=="paineira" )
> class(muda.pai)
[1] "lm"
>
> muda.tam = lm( altura ~ as.factor(bloco) + as.factor(substrato), data=mudas, subset= especie=="tamboril" )
> class(muda.tam)
[1] "lm"
>    
\end{lstlisting}



Para analisar as pressuposições do modelo utilizamos a função \texttt{'plot}', da mesma forma que se faz na regressão linear.

Sendo um experimento, o interesse principal é verificar a importância dos \textbf{fatores}: os tratamentos (\texttt{'substrato}') e os blocos (\texttt{'bloco}').  Para isso utilizamos a função \texttt{'anova}':\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

> anova( muda.pai )
Analysis of Variance Table

Response: altura
                     Df  Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)
as.factor(bloco)      5  3822.1   764.4  13.664 4.016e-08 ***
as.factor(substrato)  9 27204.4  3022.7  54.030 < 2.2e-16 ***
Residuals            45  2517.5    55.9
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
>
> anova( muda.tam )
Analysis of Variance Table

Response: altura
                     Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)
as.factor(bloco)      5 2582.6   516.5  5.1933 0.0007594 ***
as.factor(substrato)  9 9181.3  1020.1 10.2570 2.177e-08 ***
Residuals            45 4475.6    99.5
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
>          
\end{lstlisting}



\paragraph{\texorpdfstring{Exercícios}{Exercicios}}
\label{sec:exercicios5}
 \emph{\textbf{Exercício:} Altura dos Caixetais } 
Verifique se existe diferenças estatísticamente significativas na \textbf{altura média} dos caixetais (\href{media/dados/caixeta.csv.pdf}{caixeta.csv (apagar extensão .pdf)}).

Será que os caixetais diferem em termos de \textbf{altura máxima} ou \textbf{área basal}?

\subsubsection{\texorpdfstring{Outros Delineamentos Experimentais}{Outros Delineamentos Experimentais}}
\label{sec:outros_delineamentos_experimentais}


Considere o experimento de mudas de espécies arbóreas.  Se ao invés de trabalhar com a \textbf{espécie} em duas análises separadas, houvesse interesse em fazer uma análise conjunta das duas espécies, verificando a interação entre espécie e substrato.

Nesse caso, o experimento se torna um \textbf{experimento fatorial 2 x 10}:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

> 
> muda.sp = lm( altura ~ as.factor(bloco) + especie * as.factor(substrato), data=mudas )
> anova(muda.sp)
Analysis of Variance Table

Response: altura
                             Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)
as.factor(bloco)              5   3956     791  7.9598 2.673e-06 ***
especie                       1   3183    3183 32.0265 1.606e-07 ***
as.factor(substrato)          9  32910    3657 36.7909 < 2.2e-16 ***
especie:as.factor(substrato)  9   3476     386  3.8853 0.0003163 ***
Residuals                    95   9442      99
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
>                                                                                                
\end{lstlisting}



No que a fórmula para o experimento é apresentada de modo diferente:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

          altura ~ as.factor(bloco) + especie * as.factor(substrato)

\end{lstlisting}



O elemento \textbf{ especie * as.factor(substrato) } inclui todos os efeitos ligados a interação entre espécie e substrato, e que aparecem na tabela de análise de variância:
\begin{itemize}
  \item \textbf{especie} (com 1 grau de liberdade) se refere ao \textbf{efeito principal} da espécie;
  \item \textbf{as.factor(substrato)} (com 9 graus de liberdade) se refere ao \textbf{efeito principal} do substrato;
  \item \textbf{especie:as.factor(substrato)} (com 9 graus de liberdade) se refere à \textbf{interação} espécie \texttt{x} substrato.
\end{itemize}


O elemento chave nessa fórmula é o asterisco (\textbf{ * }) que representa todos os efeitos ligados a interação entre dois fatores.  Como foi dito, na fórmula estatística os sinais convencionais de operações matemáticas tem outro significado.  A tabela abaixo detalha os símbolos utilizados para definir diferentes delineamentos experimentais. \textbf{Símbolos utilizados nas Fórmulas Estatísticas para definir diferentes Delineamentos Experimentais}\begin{longtable}{|l|l|}
\hline
\textbf{ Expressão } & \textbf{ Significado } \\ 
\hline
 
 \emph{Y \textasciitilde{} X}  &  Modele \emph{Y} como função estatística de \emph{X}  \\ 
\hline
 
 \emph{A + B}  &  inclui ambos os fatores \emph{A} e \emph{B}  \\ 
\hline
 
 \emph{A - B}  &  inclui todos os efeitos em \emph{A}, exceto os que estão em \emph{B}  \\ 
\hline
 
 \emph{A * B}  &  \emph{A + B + A:B}  \\ 
\hline
 
 \emph{A / B}  &  \emph{A + B \%in\% (A)} modelos hierárquicos  \\ 
\hline
 
 \emph{A:B}  &  efeito da interação entre os fatores \emph{A} e \emph{B}  \\ 
\hline
 
 \emph{B \%in\% A}  &  efeitos de \emph{B} dentro dos níveis de \emph{A}  \\ 
\hline
 
 \emph{A\textasciicircum{}m}  &  todos os termos de \emph{A} cruzados até à ordem \emph{m}  \\ 
\hline
 
\end{longtable}



Aliadas a esses símbolos, o R possui uma série de funções que permitem a análise de virtualmente qualquer delineamento experimental.  Esse tópico requer, no entanto, um curso específico de análise experimental utilizando o R, e vai muito além do objetivo desse curso introdutório.

\paragraph{\texorpdfstring{Exercícios}{Exercicios}}
\label{sec:exercicios6}
 \emph{\textbf{Exercício:} Fatores que Influência a Altura em Florestas Plantadas I } 
Utilizando os dados de árvores de floresta plantada (), tome a altura média das árvores dominantes (média de \texttt{'hdom}' por \texttt{'parcela}') como variável resposta e verifique a influência dos fatores: região (\texttt{'regiao}') e rotação (\texttt{'rot}').

Para discussão: a relação entre esses fatores deve ser de \textbf{interação} ou \textbf{hierárquica}?  \emph{\textbf{Exercício:} Fatores que Influência a Altura em Florestas Plantadas II } 
Utilizando os dados de árvores de floresta plantada (), tome a altura média das árvores dominantes (média de \texttt{'hdom}' por \texttt{'parcela}') como variável resposta  e verifique a influência dos fatores: região (\texttt{'regiao}') e projeto (\texttt{'proj}').

Para discussão: a relação entre esses fatores deve ser de \textbf{interação} ou \textbf{hierárquica}? 

\subsubsection{\texorpdfstring{Explorando a Interação entre Fatores}{Explorando a Interaao entre Fatores}}
\label{sec:explorando_a_interaao_entre_fatores}


Freqüentemente, a interpretação da \textbf{interação} entre dois ou mais fatores é espinhosa e chegar a conclusões baseado apenas na tabela de análise de variância pode gerar equívocos.  Uma análise gráfica de interações é sempre instrutiva.

Existe no R a função \texttt{'interaction.plot}' que permite construir gráficos de interação entre fatores que facilitam a interpretação dos resultados estatístico.  Seus argumentos principais são:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

                     function (x.factor, trace.factor, response, fun = mean )
\end{lstlisting}


\begin{itemize}
  \item \textbf{x.factor} é o fator que ficará nas abscissas (eixo-x);
  \item \textbf{trace.factor} é o fator que será usado para distinguir diferentes linhas no gráfico;
  \item \textbf{response} é a variável resposta que será grafada nas ordenadas (eixo-y);
  \item \textbf{fun} é a função da estatística a ser utilizada.
\end{itemize}


Vejamos a interação entre espécies e substrato no experimento do crescimento de mudas de espécies arbóreas:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

> interaction.plot( mudas$substrato, mudas$especie, mudas$altura , col=c("red","blue"))   

\end{lstlisting}



\paragraph{\texorpdfstring{Exercícios}{Exercicios}}
\label{sec:exercicios7}
 \emph{\textbf{Exercício:} Fatores que Influência a Altura em Florestas Plantadas III } 
Tomando a altura média das árvores dominantes (média de \texttt{'hdom} por \texttt{'parcela}') como variável resposta (dados de árvores de floresta plantada --- ), verifique \textbf{graficamente} a interação entre região (\texttt{'regiao}') e rotação (\texttt{'rot}').
 \emph{\textbf{Exercício:} Variabilidade de Caixetais } 
Considere os dados do levantamento em três caixetais (). 

Pergunta-se: em qual dos caixetais (\texttt{'local}'), o diâmetro das árvores (\texttt{'dap}') é mais variável entre as parcelas (\texttt{'parcela}') quando se considera:
\begin{itemize}
  \item diâmetro \textbf{médio};
  \item diâmetro \textbf{mediano};
  \item diâmetro \textbf{máximo}?
\end{itemize}


Responda com base numa análise gráfica.

\subsection{\texorpdfstring{Comparação de Modelos}{Comparaao de Modelos}}
\label{sec:comparaao_de_modelos}


\subsubsection{\texorpdfstring{Função anova: mais do que ANOVA}{Funao anova mais do que ANOVA}}
\label{sec:funao_anova_mais_do_que_anova}


Um aspecto essencial à construção de modelos lineares é a comparação entre modelos.

A função \textbf{,,anova"}, apesar do nome, é uma função muito utilizada para comparar modelos lineares que pertençam a uma certa \emph{hierarquia} de modelos.

Vejamos o exemplo de construção de uma equação de biomassa com o seguinte forma:
\begin{verbatim}
      ''b_i = \beta_0 + \beta_1 d_i + \beta_ d_i^2 + \beta_3 h_i + \beta_4 (d_i\, h_i) + \beta_5 (d_i^2\, h_i) + \beta_6 (d_i\, h_i^2) + \varepsilon_i''
\end{verbatim}


Embora esse seja um modelo muito problemático, ele serve para ilustrar o problema de seleção de modelos.  Vejamos o que acontece utilizando os dados de árvores de \emph{E. saligna} ():\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

> biom = lm( total ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap * ht) + I(dap^2 * ht) + I(dap * ht^2), data=esa )
> summary(biom)

Call:
lm(formula = total ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap * ht) + I(dap^2 *
    ht) + I(dap * ht^2), data = esa)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max
-38.670  -7.688  -1.022   8.561  45.191

Coefficients:
               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)   -51.60332   65.40689  -0.789    0.437
dap             7.68140   11.24405   0.683    0.500
I(dap^2)        0.35420    0.53985   0.656    0.517
ht              7.48430    5.55867   1.346    0.189
I(dap * ht)    -1.42975    0.82821  -1.726    0.095 .
I(dap^2 * ht)   0.03763    0.03461   1.087    0.286
I(dap * ht^2)   0.01105    0.01593   0.694    0.493
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 15.13 on 29 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.9728,     Adjusted R-squared: 0.9672
F-statistic: 172.9 on 6 and 29 DF,  p-value: < 2.2e-16

>         
\end{lstlisting}



Veja que nenhuma das variáveis preditoras se mostrou significativa (nível de probabilidade de 5\%) para estimar a biomassa total das árvores.  Mas esse resultado é razoável?

Vejamos o que a função \textbf{,,anova"} nos mostra:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

> anova(biom)
Analysis of Variance Table

Response: total
              Df Sum Sq Mean Sq  F value    Pr(>F)
dap            1 218121  218121 952.7442 < 2.2e-16 ***
I(dap^2)       1  17791   17791  77.7108 1.063e-09 ***
ht             1    352     352   1.5375   0.22493
I(dap * ht)    1    312     312   1.3648   0.25222
I(dap^2 * ht)  1    816     816   3.5633   0.06911 .
I(dap * ht^2)  1    110     110   0.4811   0.49343
Residuals     29   6639     229
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
>
\end{lstlisting}



Nesse caso parece que o diâmetro e o diâmetro ao quadrado são significativos, mas os demais termos não.  Por que os testes geram resultados diferentes?

As funções \textbf{,,summary"} e \textbf{,,anova"} realizam testes de forma distinta:
\begin{itemize}
  \item O teste \emph{t} da função \textbf{summary} testa cada variável preditora assumindo que \textbf{todas as demais variáveis já estâo presentes no modelo}.
  \item O teste \emph{F} da função \textbf{anova} testa as variáveis preditoras na seqüência apresentada no modelo, assumindo que as \textbf{variáveis anteriores} já estavam no modelo.
\end{itemize}


Desta forma, a função \textbf{anova} realiza teste de um modelo contra outro numa seqüência definida.  O mesmo resultado se obtem partindo o modelo
original numa série de modelos:\textbf{Modelo 0:}   \texttt{b\_i = \textbackslash{}beta\_0 + \textbackslash{}varepsilon\_i} \textbf{Modelo 1:}   \texttt{b\_i = \textbackslash{}beta\_0 + \textbackslash{}beta\_1 d\_i + \textbackslash{}varepsilon\_i} \textbf{Modelo 2:}   \texttt{b\_i = \textbackslash{}beta\_0 + \textbackslash{}beta\_1 d\_i + \textbackslash{}beta\_ d\_i\textasciicircum{}2 + \textbackslash{}varepsilon\_i}   \textbf{Modelo 3:}   \textless latex b\_i = \textbackslash{}beta\_0 + \textbackslash{}beta\_1 d\_i + \textbackslash{}beta\_ d\_i\textasciicircum{}2 + \textbackslash{}beta\_3 h\_i + \textbackslash{}varepsilon\_i   \textless /latex\textbf{Modelo 4:}   \texttt{b\_i = \textbackslash{}beta\_0 + \textbackslash{}beta\_1 d\_i + \textbackslash{}beta\_ d\_i\textasciicircum{}2 + \textbackslash{}beta\_3 h\_i + \textbackslash{}beta\_4 (d\_i\textbackslash{}, h\_i) + \textbackslash{}varepsilon\_i}   \textbf{Modelo 5:}   \texttt{b\_i = \textbackslash{}beta\_0 + \textbackslash{}beta\_1 d\_i + \textbackslash{}beta\_ d\_i\textasciicircum{}2 + \textbackslash{}beta\_3 h\_i + \textbackslash{}beta\_4 (d\_i\textbackslash{}, h\_i) + \textbackslash{}beta\_5 (d\_i\textasciicircum{}2\textbackslash{}, h\_i) + \textbackslash{}varepsilon\_i}
\textbf{Modelo 6:}   \texttt{b\_i = \textbackslash{}beta\_0 + \textbackslash{}beta\_1 d\_i + \textbackslash{}beta\_ d\_i\textasciicircum{}2 + \textbackslash{}beta\_3 h\_i + \textbackslash{}beta\_4 (d\_i\textbackslash{}, h\_i) + \textbackslash{}beta\_5 (d\_i\textasciicircum{}2\textbackslash{}, h\_i) + \textbackslash{}beta\_6 (d\_i\textbackslash{}, h\_i\textasciicircum{}2) + \textbackslash{}varepsilon\_i} 

Podemos ajustar esses modelos e utilizar a função \textbf{anova} para testá-los numa seqüência:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

> m0 = lm( total ~ 1 , data=esa )
> m1 = lm( total ~ dap , data=esa )
> m2 = lm( total ~ dap + I(dap^2) , data=esa )
> m3 = lm( total ~ dap + I(dap^2) + ht , data=esa )
> m4 = lm( total ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap * ht), data=esa )
> m5 = lm( total ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap * ht) + I(dap^2 * ht), data=esa )
> m6 = lm( total ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap * ht) + I(dap^2 * ht) + I(dap * ht^2), data=esa )
>
>
> anova(m0, m1, m2, m3, m4, m5, m6)
Analysis of Variance Table

Model 1: total ~ 1
Model 2: total ~ dap
Model 3: total ~ dap + I(dap^2)
Model 4: total ~ dap + I(dap^2) + ht
Model 5: total ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap * ht)
Model 6: total ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap * ht) + I(dap^2 * ht)
Model 7: total ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap * ht) + I(dap^2 * ht) + I(dap *
    ht^2)
  Res.Df    RSS Df Sum of Sq        F    Pr(>F)
1     35 244142
2     34  26021  1    218121 952.7442 < 2.2e-16 ***
3     33   8230  1     17791  77.7108 1.063e-09 ***
4     32   7878  1       352   1.5375   0.22493
5     31   7565  1       312   1.3648   0.25222
6     30   6749  1       816   3.5633   0.06911 .
7     29   6639  1       110   0.4811   0.49343
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
>      
\end{lstlisting}



É importante lembrar que a função \textbf{anova} realiza o teste \textbf{na ordem que os modelos são apresentados}, e que isso pode ter forte influência nos resultados obtidos.\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

> anova( m0, lm(total ~ I(dap^2*ht),data=esa), lm( total ~ I(dap^2*ht) + dap, data=esa) )
Analysis of Variance Table

Model 1: total ~ 1
Model 2: total ~ I(dap^2 * ht)
Model 3: total ~ I(dap^2 * ht) + dap
  Res.Df    RSS Df Sum of Sq       F    Pr(>F)
1     35 244142
2     34  22160  1    221982 473.534 < 2.2e-16 ***
3     33  15470  1      6690  14.272 0.0006292 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
>                                                                                   
\end{lstlisting}



\paragraph{\texorpdfstring{Exercícios}{Exercicios}}
\label{sec:exercicios8}
 \emph{\textbf{Exercício:} Biomassa do Tronco de Árvores de E. saligna } 
Com base nos modelos apresentados acima, construa vários modelos para biomassa do tronco (\texttt{'tronco}') de \emph{E. salgina} ().
 \emph{\textbf{Exercício:} Modelo Polinomial } 
Construa um modelo polinomial (até quarto grau) da altura (\texttt{'ht}') em função do diâmetro (\texttt{'dap}') de árvores em caixetais ().  Verifique os termos significativos.


\subsubsection{\texorpdfstring{Algumas Funções para Comparação de Modelos}{Algumas Funoes para Comparaao de Modelos}}
\label{sec:algumas_funoes_para_comparaao_de_modelos}


Existem várias outras funções para auxiliar na construção e comparação de modelos.

As funções \texttt{'add1}' e \texttt{'drop1}' permitem adicionar ou retirar \textbf{um-a-um} os termos dos modelos lineares:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

> add1( object = m1, scope = . ~ dap + ht + I(dap*ht) + I(dap^2*ht) , test="F" )
Single term additions

Model:
total ~ dap
              Df Sum of Sq     RSS     AIC F value     Pr(F)
<none>                     26020.8   241.0
ht             1       1.0 26019.7   243.0  0.0013   0.97162
I(dap * ht)    1    2507.0 23513.8   239.3  3.5184   0.06956 .
I(dap^2 * ht)  1   10551.1 15469.6   224.3 22.5077 3.912e-05 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
>
\end{lstlisting}

\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

> drop1( object = m6, scope = . ~ .,  test="F" )
Single term deletions

Model:
total ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap * ht) + I(dap^2 * ht) + I(dap *
    ht^2)
              Df Sum of Sq    RSS    AIC F value   Pr(F)
<none>                     6639.3  201.8
dap            1     106.8 6746.1  200.4  0.4667 0.49993
I(dap^2)       1      98.6 6737.8  200.4  0.4305 0.51693
ht             1     415.0 7054.3  202.0  1.8128 0.18860
I(dap * ht)    1     682.3 7321.5  203.3  2.9801 0.09493 .
I(dap^2 * ht)  1     270.7 6910.0  201.3  1.1824 0.28582
I(dap * ht^2)  1     110.2 6749.4  200.4  0.4811 0.49343
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
>
>
> drop1( object = m6, scope = . ~ dap + ht,  test="F" )
Single term deletions

Model:
total ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap * ht) + I(dap^2 * ht) + I(dap *
    ht^2)
       Df Sum of Sq    RSS    AIC F value  Pr(F)
<none>              6639.3  201.8
dap     1     106.8 6746.1  200.4  0.4667 0.4999
ht      1     415.0 7054.3  202.0  1.8128 0.1886
>                                                                             
\end{lstlisting}



Nessas duas funções, o ponto (\textbf{,,."}) na fórmula significa todos os termos do modelo.  Ou seja, para um dado modelo, o \texttt{'scope}' igual a \textbf{,, . \textasciitilde{} . ,,} significa todos os termos da fórmula do modelo.

Outras funções úteis para construção e comparação de modelos são:
\begin{itemize}
  \item \textbf{,,step"} que realiza \emph{regressão stepwise}; e
  \item  \textbf{,,AIC"} que calcula o \emph{Akaike Information Criterion}.
\end{itemize}
\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

> aic.tab = AIC( m0, m1, m2, m3, m4, m5, m6 )
> aic.tab$AIC.d = abs( c(0, diff(aic.tab$AIC)) )
> aic.tab
   df      AIC      AIC.d
m0  2 423.7551  0.0000000
m1  3 345.1563 78.5987781
m2  4 305.7148 39.4414506
m3  5 306.1411  0.4262982
m4  6 306.6842  0.5430302
m5  7 304.5765  2.1077173
m6  8 305.9841  1.4076291
>  
\end{lstlisting}



\paragraph{\texorpdfstring{Exercícios}{Exercicios}}
\label{sec:exercicios9}
 \emph{\textbf{Exercício:} Biomassa do Tronco de Árvores de E. saligna II} 
Utilizando os modelos para biomassa do tronco (\texttt{'tronco}') de \emph{E. salgina} construidos no exercício acima, utilize as funções \textbf{drop1} e \textbf{add1} para analisar a importância dos termos individuais do modelo.
 \emph{\textbf{Exercício:} Relação Altura-Diâmetro em Florestas Plantadas}
Utilize a função \textbf{AIC} para analisar a importância das variáveis indicadoras nos modelos de relação altura-diâmetro ajustados para florestas de \emph{E. grandis}.


\end{document}
