\documentclass[a4paper, oneside, 10pt]{article}
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\date{\today}
\title{}
\author{}
\begin{document}


\begin{itemize}
  \item \href{http://labtrop.ib.usp.br/doku.php?id=cursos:planeco:roteiro:08b-lmii_rcmdr}{\includegraphics[keepaspectratio=true,width=0.8\textwidth]{planeco/logorcmdr01}
}
  \item Array
\end{itemize}


\subsection{\texorpdfstring{Modelos Lineares Simples II}{Modelos Lineares Simples II}}
\label{sec:modelos_lineares_simples_ii}


Os modelos lineares são a base para o entendimento de todos os modelos mais complexos que iremos abordar durante este curso. Caso ainda não tenha feito o roteiro \href{http://labtrop.ib.usp.br/doku.php?id=cursos:planeco:roteiro:08-lm_rcmdr}{cursos:planeco:roteiro:08-lm_rcmdr}, retorne a ele. 

\subsubsection{\texorpdfstring{Modelo Linear: partição da variação}{Modelo Linear partiao da variaao}}
\label{sec:modelo_linear_partiao_da_variaao}


Os modelos lineares podem ser analisados através do método de partição de variância que aprendemos no roteiro de \href{http://labtrop.ib.usp.br/doku.php?id=cursos:planeco:roteiro:07b-anovarcmdr}{:cursos:planeco:roteiro:07b-anovarcmdr}. Caso não tenha sedimentado bem o conceito, retorne ao roteiro e reveja a videaula, isso será importante para acompanhar o restante deste roteiro.
Assim como na análise de variância clássica onde a preditora é uma variável categórica, podemos particionar a variação total existente nos dados nas porções explicadas e não explicadas por uma \textbf{variável contínua preditora}. Esse particionamento da variação no caso de um modelo linear simples é análogo ao que acontece em uma análise de variância tradicional, com a diferença que essa última só pode ser aplicada para variáveis preditoras categóricas. 

\href{https://youtu.be/C4urUFRGDvo}{Link do vídeo no canal do youtube}



\raggedleft\includegraphics[keepaspectratio=true,width=0.8\textwidth]{cursos/planeco/roteiro/lagartaTrans}
 A nossa próxima atividade usa os dados de crescimento de lagartas submetidas a dietas de folhas com diferentes concentrações de taninos presente no livro \href{http://labtrop.ib.usp.br/doku.php?id=cursos:planeco:material:start\%23leituras_recomendadas}{The R Book (Crawley, 2012)}. São apenas duas variáveis, \textbf{growth}, o crescimento da lagarta, e \textbf{tannins}, a concentração de taninos. O objetivo é verificar se há relação entre o crescimento da lagarta e a concentração de taninos da dieta.  

\subsubsection{\texorpdfstring{Desvios Quadráticos}{Desvios Quadraticos}}
\label{sec:desvios_quadraticos}

\begin{itemize}
  \item baixe o arquivo \href{media/planeco/roteiro/regression.txt}{regression.txt};
  \item abra o arquivo no Excel, selecionando a separação de campo como tabulação;
  \item calcule a média de crescimento das lagartas;
  \item calcule o intercepto e a inclinação do modelo linear no próprio excel, usando as funções descritas no quadro abaixo;
\end{itemize}


Para o cálculo dos parâmetros da reta use as funções do Excel:
\begin{itemize}
  \item \textbf{\texttt{INCLINAÇÃO}} \footnote{SLOPE no LibreOffice}: veja documentação da função \href{https://support.microsoft.com/pt-br/office/inclina\%C3\%A7\%C3\%A3o-fun\%C3\%A7\%C3\%A3o-inclina\%C3\%A7\%C3\%A3o-11fb8f97-3117-4813-98aa-61d7e01276b9}{aqui}.
  \item \textbf{\texttt{INTERCEPÇÃO}} \footnote{INTERCEPT no LibreOffice}: Veja a documetação da função \href{https://support.microsoft.com/pt-br/office/intercep\%C3\%A7\%C3\%A3o-fun\%C3\%A7\%C3\%A3o-intercep\%C3\%A7\%C3\%A3o-2a9b74e2-9d47-4772-b663-3bca70bf63ef}{aqui}
\end{itemize}


\centering\includegraphics[keepaspectratio=true,width=0.8\textwidth]{cursos/planeco/roteiro/lmExcel01}

\begin{itemize}
  \item em uma coluna chamada \textbf{desvio total} calcule o desvio total de cada observação (o crescimento observado menos a média do crescimento); 
  \item nomei uma coluna \textbf{desvios quadráticos totais} e eleve ao quadrado os valores da coluna criada anteriormente;
  \item some esses valores para obter a soma dos desvios quadráticos total nomeado como \textbf{Variação Total}   
  \item calcule o valor predito pelo modelo em uma coluna chamada \textbf{predito};
\end{itemize}


\textbf{\underline{Predito pelo modelo}}

A predição do modelo é calculada pela equação da reta:

$$ \hat{y_i} = a + b * x_i $$

a = intercepto

b = inclinação

$x_i$ = valor de x da observação \texttt{i}

$\hat{y_i}$ = valor predito para a observação \texttt{i}
\begin{itemize}
  \item em uma coluna chamada \textbf{residuo} calcule a diferença entre cada observação e o respectivo valor predito pelo modelo;
  \item crie uma outra coluna (\textbf{residuo\textasciicircum{}2}) com os valores de resíduos quadrático do modelo para cada observação (observado menos o predito pelo modelo ao quadrado);
  \item some os desvios quadráticos dos resíduos para calcular a soma dos desvios quadráticos do modelo e nomeie esse valor como \textbf{Variação Resido\textasciicircum{}2};
  \item faça a diferença entre a soma dos desvios quadráticos total pela soma dos desvios quadráticos dos resíduos para calcular a \texttt{Variação Explicada} pelo modelo;
\end{itemize}




\subsubsection{\texorpdfstring{Tabela de Anova de um Modelo Linear}{Tabela de Anova de um Modelo Linear}}
\label{sec:tabela_de_anova_de_um_modelo_linear}


A partir da partição da variação dos desvios quadráticos explicado pela preditora (\texttt{tannin}) e não explicado (\texttt{residuos}) podemos montar uma tabela de anova da mesma forma que fizemos no tutorial \href{http://labtrop.ib.usp.br/doku.php?id=cursos:planeco:roteiro:07b-anovarcmdr}{Testes Clássicos: ANOVA}

\subsubsection{\texorpdfstring{Tabela de Anova Dieta de Lagarta}{Tabela de Anova Dieta de Lagarta}}
\label{sec:tabela_de_anova_dieta_de_lagarta}


A tabela de anova tem as seguintes colunas e linhas:
\begin{itemize}
  \item colunas: \texttt{soma quadrática}, \texttt{graus de liberdade}, \texttt{média quadrática}, \texttt{F} e \texttt{p-valor}
    \item linhas: \texttt{Modelo}, \texttt{Resíduo}, \texttt{Total}
  \end{itemize}

      \begin{itemize}
  \item monte uma tabela de ANOVA com as somas quadráticas como no \href{http://labtrop.ib.usp.br/doku.php?id=cursos:planeco:roteiro:07-classrcmdr\%23anovaanalise_de_variancia}{tutorial de anova};
\end{itemize}


\subsubsection{\texorpdfstring{Equações}{Equaoes}}
\label{sec:equaoes}


\paragraph{\texorpdfstring{Somas Quadráticas}{Somas Quadraticas}}
\label{sec:somas_quadraticas}


$$SS_{TOTAL} = \sum_{i=1}^n (y_{i} - \bar{y})^2$$

$$SS_{res} = \sum_{i=1}^n (y_{i} - \hat{y_i})^2$$

$$SS_{TOTAL} =  SS_{regr} + SS_{res} $$

$\bar{y}$ = média da variável resposta

$\hat{y_i}$ = valor estimado pelo modelo para $x_i$
\begin{itemize}
  \item Calcule o p-valor associado à estatística F do modelo
\end{itemize}


Utilize no excel o valor  \texttt{1- DIST.F(F, df1, df2, VERDADEIRO)\footnote{F.DIST no LibreOffice}} para o cálculo do p-valor sendo F o valor da estatística F calculada, \texttt{df1} o grau de liberdade da regressão (normalmente \texttt{1}) e \texttt{df2} o valor de graus de liberdade do cálculo dos desvios quadráticos médios dos resíduos (\texttt{n - 2}) que é o número de observações menos dois graus relativos ao cálculo do intercepto e da inclinação. 
\begin{itemize}
  \item calcule o $r2$ (coeficiente de determinação) da regressão \footnote{desvios quadráticos da regressão dividido pelo soma dos desvios quadrático total};
  \item salve a planilha completa para envio no formulário.
\end{itemize}


$$ R^2 = \frac{SS_{regr}}{SS_{TOTAL}} $$

\subsubsection{\texorpdfstring{Modelo Linear: tabela de anova no R}{Modelo Linear tabela de anova no R}}
\label{sec:modelo_linear_tabela_de_anova_no_r}


Vamos agora fazer a \texttt{tabela de Anova} no R 
\begin{itemize}
  \item leia os dados \href{media/cursos/planeco/roteiro/lagarta.txt}{lagarta.txt} no Rcommander, não esqueça de selecionar \texttt{Tabs} como separador de campo\footnote{confira que os dados foram lidos corretamente};
\end{itemize}


\centering\includegraphics[keepaspectratio=true,width=0.8\textwidth]{cursos/planeco/roteiro/readLagarta}

\begin{itemize}
  \item monte um novo modelo linear, chamado \texttt{lmLag01}, pelo menu (\texttt{ Statistics} \textgreater  \texttt{Fit Models} \textgreater  \texttt{Linear Models}), selecione:

  \begin{itemize}
    \item \texttt{growth} como variável resposta;
    \item \texttt{tannin} como variável preditora;
  \end{itemize}
  \end{itemize}


\centering\includegraphics[keepaspectratio=true,width=0.8\textwidth]{cursos/planeco/roteiro/lmLag}

      \begin{itemize}
  \item interprete o resultado desse modelo
  \item faça a tabela de ANOVA do modelo gerado (\texttt{Models} \textgreater  \texttt{Hipothesis test} \textgreater  \texttt{Anova table});
  \item durante o curso iremos usar a \texttt{tabela de ANOVA tipo I} onde a partição de variância é sequencial na ordem que os fatores são incluídos no modelo\footnote{Quando se tem mais de uma preditora é possível calcular a partição da variação em diferentes sequências, por isso existem tipos diferentes de tabelas de ANOVA};
  \item marque a opção: \textbf{ Sequential (,,Type I")};
\end{itemize}


\centering\includegraphics[keepaspectratio=true,width=0.8\textwidth]{cursos/planeco/planeco/roteiro/RcmdrAnova}

\begin{itemize}
  \item compare os valores calculados na planilha eletrônica com a tabela de ANOVA do modelo linear do Rcmdr, reconheça a partição da variação em ambos.
\end{itemize}


\subsubsection{\texorpdfstring{Modelo Mínimo}{Modelo Minimo}}
\label{sec:modelo_minimo}


Com esses mesmos dados podemos construir o modelo denominado \textbf{mínimo} ou \textbf{nulo}. No experimento de crescimento da lagarta, a hipótese nula é que \texttt{tannin} não tem efeito em \texttt{growth}. Podemos construir o modelo que representa esse cenário, criando o modelo em que \texttt{growth} não tem preditoras.
\begin{itemize}
  \item garanta que o os dados \texttt{lagarta} estão ativos no Rcmdr;
  \item monte um novo modelo linear, chamado \texttt{lmLag00}, pelo menu (\texttt{ Statistics} \textgreater  \texttt{Fit Models} \textgreater  \texttt{Linear Models}), selecione:

  \begin{itemize}
    \item \texttt{growth} como variável resposta;
    \item inclua \texttt{1},numeral um, como variável preditora\footnote{esta é a forma de dizer ao R que nosso modelo não tem preditoras};
  \end{itemize}
  \end{itemize}


\centering\includegraphics[keepaspectratio=true,width=0.8\textwidth]{cursos/planeco/roteiro/lmLag00}

      \begin{itemize}
  \item monte a tabela de anova do modelo \texttt{lmLag00} no menu: \texttt{Models} \textgreater  \texttt{Hipothesis tests} \textgreater  \texttt{ANOVA table}
\end{itemize}


Não há muito a ser interpretado nos resultados do modelo mínimo, mas reconheça os valores que são estimados no resultado do modelo em \texttt{Coefficients  Estimate}. Note que neste modelo não há inclinação, pois não existe preditora.   Na tabela de ANOVA verifique o valor do \texttt{Sum Sq Residuals} e reconheça onde ele se encontra na tabela de ANOVA montada na planilha eletrônica.

\subsubsection{\texorpdfstring{Comparando Modelos}{Comparando Modelos}}
\label{sec:comparando_modelos}


O procedimento de partição da variação e calculo da razão entre variâncias pode ser generalizado e utilizada como critério para comparação de modelos aninhados. Modelo são considerados aninhados quando o mais complexo engloba todos as variáveis do mais simples, e por consequência, o modelo mais simples não pode explicar mais variação do que o mais complexo. 
O modelo \texttt{lmLag00} é aninhado ao modelo \texttt{lmLag01} e por isso podemos fazer a comparação entre eles pelo critério de partição da variação como segue.

\textbf{\underline{ Comparando modelo com o mínimo (nulo) no Rcmdr}}
\begin{itemize}
  \item confira se na caixa \texttt{Model:} existem os modelos \texttt{lmLag00} e \texttt{lmLag01};
  \item utilize o menu \texttt{Models} \textgreater  \texttt{Hypothesis Test} \textgreater  \texttt{Compare two models};
  \item na caixa que se abre selecione \texttt{lmLag00} e \texttt{lmLag01} para comparação;
\end{itemize}


\centering\includegraphics[keepaspectratio=true,width=0.8\textwidth]{cursos/planeco/roteiro/compareAnovaLag00}

\begin{itemize}
  \item compare os valores dessa tabela de comparação entre modelos com a tabela de ANOVA do modelo \texttt{lmLag01};
  \item reconheça os valores das partições de variação em ambos os casos.
\end{itemize}


Na comparação de modelos a razão de variância é relacionada ao quanto o modelo mais complexo explica da variação dos dados em relação ao modelo mais simples. De uma certa forma, a \texttt{tabela de ANOVA} no R sempre apresenta a partição da variância da comparação de dois modelos aninhados. A \texttt{tabela de ANOVA} de um modelo isolado é equivalente a comparar o modelo em questão com o modelo mínimo (nulo) correspondente. O entendimento desses conceitos é fundamental para utilizarmos a partição de variação como crítério para a tomada de decisão sobre qual modelo melhor explica nossos dados.

\href{https://youtu.be/M9WGxjIhGqg}{Link do vídeo no canal do youtube}

Nesse ponto, é desejável que tenha entendido que a partição da variância de um modelo é correspondente a compará-lo com o modelo mínimo (nulo), ou seja, quanta variância o modelo é capaz de explicar em relação ao modelo sem nenhuma preditora. Este modelo mínimo, representado por apenas um parâmetro, a média da variável resposta, apresenta toda a variação dos dados contida nos seus resíduos. 

\textbf{\underline{Diagnóstico do Modelo Linear}}

O diagnóstico do modelo linear é feito baseado nas premissas associadas ao modelo e para verificar a influência de cada observação na estimativa dos parâmetros do modelo. Os nossos dados precisam estar acoplados às premissas do modelo linear e não é desejável que o modelo seja definido apenas por uma ou por poucas observações influentes. As principais premissas dos modelos lineares são:
\begin{itemize}
  \item a relação entre a variável preditora e a resposta é linear;
  \item a variabilidade tem estrutura de uma variável aleatória normal;
  \item a variabilidade na resposta é constante ao longo de toda a amplitude da preditora; 
\end{itemize}


Além disso, avaliamos, para cada observação, sua alavancagem (leverage), definida pelo quanto a observação se afasta da média dos dados, e a sua influência (distância de Cook), definida como o quanto os parâmetros estimados são alterados ao se retirar esta observação dos dados. 

Caso ainda tenha dúvidas sobre o diagnóstico dos modelos revisite o tutorial \href{http://labtrop.ib.usp.br/doku.php?id=cursos:planeco:roteiro:07a-clasrcmdr}{ Regressão Linear} para sedimentar o diagnóstico dos modelos lineares.

\textbf{ \underline{PARA ENTREGAR ANTES DO INÍCIO DA PRÓXIMA AULA} }
\begin{itemize}
  \item  Preencha o  \href{https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfG1mlzaPlFMy1T3qvsNTTWkF_4ilq8m_xjoQ7bYnu-0Dchww/viewform?usp=sf_link}{formulário neste link}. Caso não consiga, encaminhe as repostas e documentos aos professores (\textbf{planecousp@gmail.com}), indicando como ,,Assunto": \textbf{Modelos Lineares Simples II}.
\end{itemize}


\end{document}