\documentclass[a4paper, oneside, 10pt]{article}
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\graphicspath{{media/}}
\date{\today}
\title{}
\author{}
\begin{document}



\section{\texorpdfstring{Coeficiente de determinação}{Coeficiente de determinaao}}
\label{sec:coeficiente_de_determinaao}


O coeficiente de determinação ($R^2$) expressa a proporção da variação de uma medida (variável resposta) que é explicada pela variação de outra (variável explanatória). Se supomos que a variação é explicada por uma relação linear, os cálculos são simples e ajudam muito a entender a lógica da partição da variação que está por trás do $R^2$. 

Neste roteiro vamos usar a regressão linear e um conjunto pequeno de dados para entender o coeficiente de determinação. 

\subsection{\texorpdfstring{Preparação para o exercício}{Preparaao para o exercicio}}
\label{sec:preparaao_para_o_exercicio}


Para começar, crie uma pasta para você na área de trabalho (desktop) do seu computador.
Copie para essa pasta o arquivo com os dados que vamos usar:

\href{media/2018/roteiros/dadinho.csv}{dadinho.csv}

\textbf{\underline{Dadinhos}}

Os dados presentes no arquivo dadinhos.csv foram gerado para simular um conjunto de duas variáveis X e Y, sendo que X representando uma variável preditora e Y a variável resposta relacionada a X:\begin{longtable}{|l|l|}
\hline
X & Y \\ 
\hline
 
1 & 1.110051188 \\ 
\hline
 
2 & 2.34319526 \\ 
\hline
 
3 & 2.420523142 \\ 
\hline
 
2 & 2.590458605 \\ 
\hline
 
5 & 3.617082773 \\ 
\hline
 
6 & 5.311096663 \\ 
\hline
 
7 & 7.564503078 \\ 
\hline
 
8 & 8.410392714 \\ 
\hline
 
\end{longtable}



Em seguida, abra o programa R, clicando no ícone \includegraphics[keepaspectratio=true,width=0.8\textwidth]{2015/roteiros/logor}
 que está na área de trabalho do seu computador.

Se tudo deu certo até aqui, abrirá uma janela do R como essa:

\centering\includegraphics[keepaspectratio=true,width=0.8\textwidth]{2018/roteiros/tela_inicial_r}


Já com a janela do programa R aberto, o próximo passo será mudar o diretório de trabalho para aquela pasta que você acabou de criar. Com isso será mais fácil importar os dados dos arquivos ,,.csv" para dentro do ambiente R. 

A mudança de diretório deve ser feita da seguinte forma:
\begin{itemize}
  \item Abra o Menu ,,Arquivo" (ou ,,File");
  \item Selecione ,,Mudar dir" (ou ,,Change dir");
  \item Escolha a sua pasta na janela que abrir.
\end{itemize}


\emph{[Obs. Para Mac, essa opção está no Menu ,,Misc" e a opção é ,,Change working dir"]}

Para checar se você está na pasta correta, copie e cole o comando abaixo na linha de comando do R. Atenção: O comando deve ser colado na frente do símbolo ,,\textgreater ", circundado em azul na imagem anterior. Este símbolo indica o início da linha de comando ou ,,prompt", onde você deve escrever comandos para o R. \lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

getwd()
\end{lstlisting}



Após colar, aperte a tecla ,,enter" e veja se o R retorna o nome da sua pasta. Se sim, ótimo. Se não, chame um monitor ou professor.

\paragraph{\texorpdfstring{Importando os dados para o R}{Importando os dados para o R}}
\label{sec:importando_os_dados_para_o_r}


Agora vamos importar para o R os dados que você gravou em seu diretório. Para isso copie o comando abaixo, cole na linha de comando do R e pressione ,,enter":\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

dadinhos <- read.csv("dadinho.csv")
\end{lstlisting}



Se não houve nenhuma mensagem de erro agora você tem no R uma tabela com 8 linhas e duas colunas, que explicaremos a seguir. Se quiser verificar se a tabela foi importada, digite o nome dela no R\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

dadinhos
\end{lstlisting}



\subsection{\texorpdfstring{Cálculos passo a passo}{Calculos passo a passo}}
\label{sec:calculos_passo_a_passo}


\subsubsection{\texorpdfstring{A variação total}{A variaao total}}
\label{sec:a_variaao_total}


Nosso ponto de partida é a variação de uma variável, no caso Y. Uma das maneiras mais usadas na estatística para expressar a variação de medidas é sua dispersão em torno da média. Para isso, calculamos a diferença de cada valor de Y à média de todos os valores de Y. Vamos adicionar isso à nossa tabela de dados:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

dadinhos$dif <- dadinhos$Y - mean(dadinhos$Y)
dadinhos
\end{lstlisting}



Visualmente o que fizemos foi calcular a distância de cada ponto (linhas tracejadas vermelhas) à média de todos os pontos no eixo Y, que está representada como uma linha horizontal azul:

\centering\includegraphics[keepaspectratio=true,width=0.8\textwidth]{2018/roteiros/coef_determ1}


Para resumir essas distâncias em um único número, as elevamos ao quadrado e somamos. Isso é chamado ,,soma dos desvios quadrados" ou simplesmente ,,soma dos quadrados"\footnote{por que elevar ao quadrado os desvios à média? Bom, primeiro porque a soma dos desvios é sempre zero... Mas também porque a soma dos desvios ao quadrado tem várias propriedades estatísticas úteis, como a aditividade que vamos ver em seguida.}. Ela expressa a variação \textbf{total} da variável Y.

Calcule essa soma no R com o comando a seguir, e guarde em um objeto chamado \texttt{V.total}\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

V.total <- sum(dadinhos$dif^2)
\end{lstlisting}



Lembrando que para ver o valor que vc obteve e armazenou neste objeto, basta digitar o nome do objeto na linha de comando seguinte:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

V.total
\end{lstlisting}



\subsubsection{\texorpdfstring{A variação que sobra da regressão}{A variaao que sobra da regressao}}
\label{sec:a_variaao_que_sobra_da_regressao}


Uma regressão linear busca explicar a variação observada em uma variável pela variação de outra. Se a regressão é bem sucedida, esperamos que reste pouca variação sem explicação, que chamamos de \textbf{variação residual} da regressão. Essa variação residual é a soma dos quadrados dos desvios de cada ponto à linha de regressão. 

Na figura a seguir está a linha da regressão linear de Y em função da variável X, e os desvios de cada observação em relação a essa reta de regressão. Os resíduos da regressão (linhas tracejadas vermelhas) são bem menores que os desvios em relação à média, da figura anterior:

\centering\includegraphics[keepaspectratio=true,width=0.8\textwidth]{2018/roteiros/coef_determ2}


Como chegamos a esses valores na figura? Vamos calcular passo a passo. Primeiro ajustamos uma regressão, ou seja, procuramos uma reta que minimize as distâncias de todos os pontos a ela. Poderíamos fazer isso por meio de várias tentativas tentando ajustar a melhor reta, mas temos uma função no R, chamada ,,lm", que faz isso analiticamente para nós:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

dadinhos.lm <- lm(Y ~ X, data=dadinhos)
\end{lstlisting}



O intercepto \footnote{ponto do eixo Y em que a reta cruza o eixo X no zero} e a inclinação da equação da reta ajustada são:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

(dadinhos.cf <- coef(dadinhos.lm))
\end{lstlisting}



E agora, usando os valores do intercepto e da inclinação, calculamos, por meio da função ,,predict" os valores de Y previstos pela equação da reta para cada valor de X, e adicionamos esses valores na nossa tabela de dados:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

dadinhos$Y.pred <- predict(dadinhos.lm)
\end{lstlisting}



Também vamos adicionar na nossa tabela a diferença entre os valores de Y reais e os valores de Y previstos, que são os resíduos da regressão (aquelas linhas vermelhas tracejadas na segunda figura):\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

dadinhos$residuo <- dadinhos$Y - dadinhos$Y.pred
\end{lstlisting}



Nossa tabela de dados agora tem cinco colunas:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

dadinhos
  X        Y        dif    Y.pred    residuo
1 1 1.110051 -3.0608617 0.5497765  0.5602747
2 2 2.343195 -1.8277177 1.5843869  0.7588084
3 3 2.420523 -1.7503898 2.6189973 -0.1984742
4 4 2.590459 -1.5804543 3.6536077 -1.0631491
5 5 3.617083 -0.5538302 4.6882181 -1.0711354
6 6 5.311097  1.1401837 5.7228285 -0.4117319
7 7 7.564503  3.3935902 6.7574390  0.8070641
8 8 8.410393  4.2394798 7.7920494  0.6183433
\end{lstlisting}



A soma dos quadrados dos resíduos da regressão expressa a variação que restou da regressão. É a \textbf{variação de Y que não é explicada pela variação de X}, em uma regressão linear. Para calculá-la somamos os valores da coluna dos resíduos elevados ao quadrado:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

V.resid <- sum(dadinhos$residuo^2)
\end{lstlisting}



E vemos que de fato essa variação residual é bem menor que a total:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

V.resid
\end{lstlisting}



\subsubsection{\texorpdfstring{A variação explicada pela regressão}{A variaao explicada pela regressao}}
\label{sec:a_variaao_explicada_pela_regressao}


Acima calculamos a variação total de Y e a variação que resta em Y depois de considerarmos um efeito linear de X sobre Y. A soma dos quadrados, medida que escolhemos para expressar esses componentes de variação, tem uma propriedade muito útil. Se consideramos o efeito linear de X como a única fonte de explicação para Y, podemos então dizer que:

$$V_{total} = V_{explic} + V_{resid} $$

ou seja, que a soma dos quadrados total (variação total) é o resultado da adição da soma dos quadrados explicados (pela regressão) e da soma dos quadrados dos resíduos da regressão. Em outras palavras, estamos repartindo, ou \textbf{particionando aditivamente} a variação total de Y em dois componentes\footnote{este raciocínio pode ser generalizado para mais componentes de variação, como veremos no roteiro seguinte}. 

Como já calculamos $V_{total}$ e $V_{resid}$, podemos obter a variação explicada pela regressão com:

$$V_{explic} =  V_{total} - V_{resid} $$

Que podemos calcular no R usando os valores acima, que armazenamos:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

(V.expl <-  V.total - V.resid)
\end{lstlisting}



\paragraph{\texorpdfstring{E finalmente o coeficiente de determinação!}{E finalmente o coeficiente de determinaao}}
\label{sec:e_finalmente_o_coeficiente_de_determinaao}


Obtemos o coeficiente de determinação dividindo $V_{explic}$ por $V_{total}$:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

V.expl/V.total
\end{lstlisting}



Neste caso dizemos que 91\% da variação de Y é explicada por X. Nada mal. Mas o que você poderia esperar de dados que a gente mesmo criou, né! 8-)

\end{document}
