\documentclass[a4paper, oneside, 10pt]{article}
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\author{}
\begin{document}



\section{\texorpdfstring{Partição de variação: uma espécie}{Partiao de variaao uma especie}}
\label{sec:partiao_de_variaao_uma_especie}


Os três parâmetros estruturais básicos das comunidades são a riqueza, composição e abundância (de espécies, tipos funcionais, linhagens ...). Podemos tentar entender as comunidades analisando cada uma de suas partes (por exemplo as populações de cada espécie) ou podemos tentar analisar o conjunto de espécies como um todo.

Uma das abordagens da ecologia de comunidades é buscar regularidades nestes parâmetros estruturais, e propor explicações para eles. Neste roteiro vamos aprender uma das ferramentas estatísticas usadas para isto, chamada partição de variação. 

Aqui vamos analisar a estrutura espacial da abundância de uma espécie fictícia. Começamos com apenas uma espécie porque isso facilita entender os cálculos e suas interpretações. No roteiro seguinte mostraremos como a partição pode ser generalizada para descrever padrões conjuntos de abundância de muitas espécies.

\subsection{\texorpdfstring{Importando os dados para o R}{Importando os dados para o R}}
\label{sec:importando_os_dados_para_o_r}


Para começar, copie  para sua pasta de trabalho o arquivo com os dados que vamos usar:
\begin{itemize}
  \item \href{media/2018/roteiros/roteiro1.csv}{roteiro1.csv}
\end{itemize}


Agora vamos importar para o R os dados que você gravou em seu diretório. Para isso copie o comando abaixo, cole na linha de comando do R e pressione ,,enter":\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

dados <- read.csv2("roteiro1.csv")
\end{lstlisting}



Se não houve nenhuma mensagem de erro agora você tem no R uma tabela com 100 linhas e três colunas, que explicaremos a seguir. Se quiser verificar se a tabela foi importada, você pode usar os comandos seguintes para mostrar suas primeiras e últimas linhas:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

head(dados)
tail(dados)
\end{lstlisting}



\subsection{\texorpdfstring{Em busca de uma estrutura}{Em busca de uma estrutura}}
\label{sec:em_busca_de_uma_estrutura}


A abundância de uma espécie pode variar muito, no tempo e no espaço. A pergunta fundamental aqui é o que causa esta variação. A partição de variância é um método para avaliar o quanto da variação de uma quantidade pode ser atribuída à variação de uma outra quantidade. Usamos este método para avaliar se é plausível que a abundância de uma planta em uma área varie em função da variação de um fator ambiental, por exemplo. 

\subsubsection{\texorpdfstring{Um padrão}{Um padrao}}
\label{sec:um_padrao}


Vamos aos nossos dados, para deixar mais concreto. A figura abaixo representa uma parcela permanente, que foi dividida em 100 quadrados. Em cada quadrado foram contados todos os indivíduos de \emph{Non illum}, uma erva daninha invasora. A abundância da planta por quadrado vai de dois indivíduos (cinza claro) até 41 indivíduos (cor preta). 

 \centering\includegraphics[keepaspectratio=true,width=0.8\textwidth]{2018/roteiros/mapas_single1}


\subsubsection{\texorpdfstring{Uma hipótese: variação ambiental}{Uma hipotese variaao ambiental}}
\label{sec:uma_hipotese_variaao_ambiental}


Percebendo a concentração de plantas no canto superior direito da parcela, uma ecóloga propôs a hipótese de que a planta tem uma associação com solos menos ácidos. Ela chegou a esta hipótese porque havia medido o pH do solo superficial em cada parcela, o que usou para fazer o mapa a seguir (à direita). Neste mapa, cores claras são valores mais baixos de pH e cores escuras valores altos.

\centering\includegraphics[keepaspectratio=true,width=0.8\textwidth]{2018/roteiros/mapas1}


Parece razoável? Para avaliar melhor isto vamos fazer um gráfico da relação entre a abundância da planta e o valor do pH em cada parcela. Já importamos estes dados para o R na seção anterior, então temos só que dar o comando que cria o gráfico:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

plot(abund ~ pH, data = dados)
\end{lstlisting}



O gráfico sugere que a abundância da planta é proporcional ao pH. Se isso é verdade, deve haver uma linha reta que aproxime bem esta relação. A \textbf{regressão linear} é uma técnica estatística para encontrar esta reta. Execute no R o comando para ajustar a regressão da abundância em função do pH:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

regr.pH <- lm(abund ~ pH, data = dados)
\end{lstlisting}



E adicione a linha da regressão ao seu gráfico com\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

abline(regr.pH)
\end{lstlisting}



\subsubsection{\texorpdfstring{A variação explicada pela hipótese}{A variaao explicada pela hipotese}}
\label{sec:a_variaao_explicada_pela_hipotese}


A regressão linear nos retorna muita informação importante sobre a relação que hipotetizamos. A que mais nos interessa agora é o \textbf{coeficiente de determinação}, expresso pela sigla $R^2$. Este coeficiente expressa a proporção da variação total da variável resposta (a abundância, no caso) que é ,,capturada" ou ,,explicada" pela variação da variável explanatória (o pH, no caso). Para entender o $R^2$ veja  o roteiro sobre coeficiente de determinação.

Para obter o $R^2$ da regressão que ajustamos acima basta o comando\footnote{com este comando também estamos guardando o valor obtido em uma objeto chamado \texttt{X}}:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

(X<-summary(regr.pH)$r.squared)
\end{lstlisting}



O que mostra que 68,6\% da variação da abundância da espécie é explicada por uma relação linear com o pH do solo superficial.

\subsubsection{\texorpdfstring{Outra hipótese: limitação à dispersão}{Outra hipotese limitaao a dispersao}}
\label{sec:outra_hipotese_limitaao_a_dispersao}


Uma outra ecóloga sabia que a invasão por \emph{Non illum} era recente e havia começado pelo canto superior direito da parcela por sementes trazida acidentalmente por tucanos, que desapareceram em seguida \footnote{ao que parece tucanos e patos amarelos dispersam apenas uma vez as sementes, pois morrem envenenados por elas}. A ecóloga então propôs que quadrados mais distantes do ponto de entrada tiveram menor chance de serem colonizados. Esta hipótese propõe que a variação da abundância desta planta observada na parcela é resultado apenas da limitação à dispersão. A ecóloga criou então um mapa para expressar sua hipótese. Neste mapa (à direita) os quadrados com maior chance de receber propágulos estão em tons mais escuros:

\centering\includegraphics[keepaspectratio=true,width=0.8\textwidth]{2018/roteiros/mapas2}


Este é mapa é construído atribuindo um valor a cada quadrado, que deve expressar um índice de abundância relativa aos demais quadrados. No caso, este índice pode ser interpretado como proporcional à probabilidade de estabelecimento de um propágulo. A limitação à dispersão se expressa pelo arranjo espacial de áreas com alta e baixa probabilidade de estabelecimento, de acordo com algum modelo de dispersão ou estabelecimento. Neste caso o modelo é bem simples: quanto mais distante do vértice superior direito, menor a chance de estabelecimento. Por isso vamos chamar o índice usado para construir o mapa de \textbf{variável de estrutura espacial}.

Compare o mapa da direita com o mapa de variação da abundância da planta (esquerda). Será que a limitação à dispersão proposta é uma boa hipótese? Para ajudar, faça o gráfico da abundância em função da variável de estrutura espacial com o comando:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

plot(abund ~ space, data= dados, xlab = "Variável de estrutura espacial", 
      ylab= "Abundância de L. nom")
\end{lstlisting}



\subsubsection{\texorpdfstring{Teste da hipótese de limitação à dispersão}{Teste da hipotese de limitaao a dispersao}}
\label{sec:teste_da_hipotese_de_limitaao_a_dispersao}


Para testar esta nova hipótese ajustamos a regressão da abundância em função da variável espacial:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

regr.space <- lm(abund ~ space, data = dados)
\end{lstlisting}



E podemos adicionar a linha da regressão ao gráfico:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

abline(regr.space)
\end{lstlisting}



\subsubsection{\texorpdfstring{Variação explicada pela hipótese de limitação à dispersão}{Variaao explicada pela hipotese de limitaao a dispersao}}
\label{sec:variaao_explicada_pela_hipotese_de_limitaao_a_dispersao}


Obtemos a fração da variação da abundância explicada pela variável espacial com o comando que já conhecemos,
aplicado ao objeto que guarda os resultados da regressão:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

(W <- summary(regr.space)$r.squared)
\end{lstlisting}



\subsection{\texorpdfstring{Partição da variação entre ambiente e espaço}{Partiao da variaao entre ambiente e espao}}
\label{sec:partiao_da_variaao_entre_ambiente_e_espao}


Resumindo o que encontramos até aqui: uma variável ambiental (pH) explica 68,6\% da variação da abundância da espécie. Mas uma variável de estrutura espacial explica 49,2\% desta mesma variação. Como é possível que a soma dos percentuais de variação explicada passem de 100\% ? 8-O

A resposta é que há uma relação entre o pH e a variável de estrutura espacial:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

plot(pH ~ space, data = dados, xlab = "Variável de estrutura espacial")
\end{lstlisting}



O que significa que \textbf{a variável ambiental tem uma estrutura espacial}, que é bem descrita
pela estrutura espacial proposta pela segunda hipótese. Assim, a variação explicada pelo pH contém uma parte de efeito espacial. Da mesma forma, uma parte da variação explicada pela variável espacial contém efeito do pH. 

A esta parte da variação compartilhada chamamos \textbf{variação ambiental estruturada no espaço}. No esquema abaixo esta parte da variação explicada é o componente $b$.

\centering\includegraphics[keepaspectratio=true,width=0.8\textwidth]{2018/roteiros/particao}


O círculo da esquerda representa a variação explicada por uma variável $X$, no caso a variável ambiental. Vemos que a variação explicada por $X$ é a soma do mesmo componente compartilhado $b$ com um componente $a$ que chamamos \textbf{fração de variância explicada apenas pelo ambiente}.

Da mesma forma, o círculo da direita representa a variação explicada por uma segunda variável $W$, no caso o espaço. Vemos que $W$ é formado pelo componente compartilhado com a outra variável ($b$) e por uma outra fração $c$, que chamamos de \textbf{fração de variância explicada apenas pelo espaço}. 

Da mesma forma, 
Por fim, variação total é representada pelo retângulo. A parte não coberta pelos círculos é a variação que não é explicada por nenhuma variável, indicada por $d$.

\subsubsection{\texorpdfstring{Variação não explicada}{Variaao nao explicada}}
\label{sec:variaao_nao_explicada}


A variação não explicada por nenhuma variável é obtida da regressão que inclui todas as variáveis:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

regr.tudo <- lm(abund ~ pH + space, data = dados)
\end{lstlisting}



De onde obtemos a variação explicada pelo pH e a variável espacial juntas:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

summary(regr.tudo)$r.squared
\end{lstlisting}



Esta quantidade corresponde a $a+b+c$ no diagrama acima, que vamos chamar de $XW$. Sabendo que 

$$a+b+c+d\ = \ XW + d \ = \ 1$$

temos então que 

$$d = 1 - XW$$. 

Assim, obtemos $d$ subtraindo o valor acima de um:\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

(d <- 1 - summary(regr.tudo)$r.squared)
\end{lstlisting}



\subsubsection{\texorpdfstring{Juntando as peças}{Juntando as peas}}
\label{sec:juntando_as_peas}


Agora temos todas as peças que precisamos para calcular como a variação da abundância de \emph{Non illum}
pode ser particionada entre os componentes do diagrama acima:

$$
\left\{ 
\begin{array}{l}
a + b = X \\ 
c + b = W\\ 
a + b + c = 1 - d 
\end{array}
\right. 
$$

O que implica em

$$ d + X + W -1 = b$$

Usando os valores que já calculamos e guardamos no R temos então:

\textbf{Fração devido a espaço e pH (\$b\$)}\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

(b <- X + W + d - 1)
\end{lstlisting}



\textbf{Fração devido apenas a pH (\$a\$)}\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

(a <- X - b)
\end{lstlisting}



\textbf{Fração devido apenas a espaço (\$c\$)}\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

(c <- W - b)
\end{lstlisting}



\textbf{Fração não explicada (\$d\$)}\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

d
\end{lstlisting}



\subsection{\texorpdfstring{Conclusão}{Conclusao}}
\label{sec:conclusao}


\paragraph{\texorpdfstring{A pergunta sobre a vida, o universo e tudo mais}{A pergunta sobre a vida o universo e tudo mais}}
\label{sec:a_pergunta_sobre_a_vida_o_universo_e_tudo_mais}


Qual hipótese tem mais apoio dos resultados?

\end{document}
