====== Análise de Dados coletados na Parcela Permanente ======
Em nossa saída a campo verificamos a situação atual de uma parte das
árvores de //Euterpe edulis// marcadas em 2009 na parcela permanente da Ilha do Cardoso.
Nesse roteiro vamos calcular probabilidades de permanência no período 2009-2017, e atualizar as projeções da dinâmica da população com [[2017:roteiros:matrizes|modelos matriciais de populações estruturadas]].
===== O futuro da população de palmiteiros na Ilha do Cardoso =====
Vamos dividir as árvores nas mesmas classes de tamanho que usamos [[2017:roteiros:dp|nos roteiros anteriores]] do módulo de dinâmica de populações:
* **C:** até 71 mm de dap (Jovens 1)
* **B**: de 71 a 90 mm de dap (Jovens 2)
* **A**: acima de 90 mm de dap (Adultos)
A tabela a seguir mostra o número de árvores vivas que havia em 2009 nas quadrículas de 20x20m que amostramos. Mostra também o número de árvores que encontramos vivas nessas quadrículas, em nosso trabalho de campo de 2017.
^ Classe ^ 2009 ^ 2017 ^
^C (Jovem 1) | 142 | 74 |
^B (Jovem 2) | 167 | 90 |
^A (Adulto) | 31 | 12 |
^Total | 340 | 176 |
==== Previsão para 2017 usando a matriz das transições 2005-2009 ====
Quais os números esperados de palmitos em cada classe em 2017, se usamos as transições do período 2005-2009? Para descobrir é só usar a planilha do [[2017:roteiros:matrizes|exercício de projeções com matrizes de transição]]:
- Na planilha que faz os cálculos, substitua os valores iniciais (TEMPO 1) de árvores em cada classe pelos que estão na tabela acima, para 2009.
- Compare os valores previstos após 8 anos (dado que cada intervalo de TEMPO se refere a 4 anos, observe os valores no TEMPO 3, ou seja, dois intervalos de tempo depois), com os valores obtidos em 2017.
Quais as explicações para as diferenças encontradas?
==== Ajustando duas probabilidades de permanência ====
Na seção anterior vimos que para prever o número de árvores em classe até 2017 aplicamos duas vezes a matriz de transições para 4 anos . Ou seja, para a classe dos adultos fazemos o cálculo:
$$ A_{t+2} = P_{(33)}A_{t+1} + P_{(32)}B_{t+1}$$
Onde:
* $A_{t+2}$ é o número de adultos projetado para dois intervalos de tempo adiante ((os dois passos de quatro anos que levam de 2009 para 2017, no caso));
* $A_{t+1}$ e $B_{t+1}$ são os números de adultos e jovens 2 projetados para um intervalo;
* $P_{(33)}$ é a probabilidade de permanência na classe de adultos em um intervalo;
* $P_{(32)}$ é a probabilidade de transição da classe de Jovem 2 para adultos em um intervalo.
As quantidades $A_{t+1}$ e $B_{t+1}$ são obtidas por:
$$ A_{t+1} = P_{(33)}A_{t} + P_{(32)}B_{t}$$
$$ B_{t+1} = P_{(22)}B_{t} + P_{(21)}C_{t}$$
Onde:
* $A_{t}$, $B_{t}$ e $C_{t}$ são os números de adultos, Jovens 2 e Jovens 1 dois intervalos de tempo antes;
* $P_{(22)}$ é a probabilidade de permanência na classe Jovem 2, em um intervalo;
* $P_{(21)}$ é a probabilidade de transição da classe de Jovem 1 para Jovem 2 em um intervalo.
Como só temos valores para $t$ (2009) e $t+2$ (2017), vamos eliminar os termos para $t+1$ da nossa primeira expressão. Para isso apenas substituímos $A_{t+1}$ e $B_{t+1}$ pelas suas expressões, o que nos dá:
$$ A_{t+2} = P_{(33)}[P_{(33)}A_{t} + P_{(32)}B_{t}] \ + \ P_{(32)}[P_{(22)}B_{t} + P_{(21)}C_{t}]$$
Usando o mesmo raciocínio chegamos à expressão para número de indivíduos na classe Jovem 2 após dois intervalos:
$$ B_{t+2} = P_{(22)}[P_{(22)}B_{t} + P_{(21)}C_{t}] \ + \ P_{(21)}[P_{(11)}C_{t} + A_{t}F]$$
Onde:
* $P_{(11)}$ é a probabilidade de permanência da classe de Jovem 1.
* $F$ é a fecundidade de adultos (número de Jovens 1 produzidos por adulto em um intervalo);
=== Calculando novas taxas de permanência para 2017===
Vamos supor que apenas as probabilidades de permanência das duas maiores classes de tamanho ($P_{(33)}$ e $P_{(22)}$) mudaram. Podemos então usar as expressões para $A_{t+2}$ e $B_{t+2}$ que deduzimos acima para encontrar os valores dessas transições. Para isso, usamos todos os valores conhecidos de abundâncias nas classes e as outras probabilidades que supomos não ter mudado. Os valores dos números de indivíduos em cada classe em $t+2$ e $t$ estão na tabela acima, e as probabilidades de transição estão na matriz de transições. Com esses valores nas expressões acima temos:
$$ 12 = P_{(33)}[P_{(33)} \times 31 + 0,053\times 167] \ + \ 0,053[P_{(22)} \times 167 + 0,736 \times 142]$$
$$ 90 = P_{(22)}[P_{(22)} \times 167 + 0,177 \times 142] \ + \ 0,177[0,736 \times 142 + 31 \times 1,105]$$
que é um sistema de duas equações com duas incógnitas, $p_{33}$ e $p_{22}$. Resolver esse sistema é encontrar os valores das incógnitas que satisfaçam as igualdades. Ou seja, é encontrar valores das taxas de permanência que resultem nos valores observados de Adultos e Jovens 2(B).
Tem um monte de conta aí, que felizmente o computador pode fazer para a gente. Usamos um sistema online para fazer isso e o resultado está [[https://www.wolframalpha.com/input/?i=12%3D31*x%5E2%2B8.83597835*x%2B8.83597835*y%2B1.331457968039649,+90%3D167*y%5E2%2B25.16455698*y%2B24.60462910086587|aqui]]. Na seção //solutions// dessa página vemos os quatro pares de valores de $X=p_{33}$ e $Y=p_{22}$ que satisfazem o sistema de equações. Felizmente, de novo, há só um par com os dois valores positivos. Como as probabilidades são sempre positivas, essa é a solução que procuramos 8-)
==== Projeções com as novas probabilidades de permanência ====
Abra a planilha com a matriz de transição para a população de palmitos da parcela, construída com dados dos censos de 2005 e 2009. Substitua os valores de probabilidades de permanência pelos que obtivemos acima.
* Houve mudanças importantes? Justifique.
* Os resultados dessa análise são coerentes com a [[2017:roteiros:sensibilidade|análise de sensibilidade e elasticidade]] que fizemos para essa mesma população?