Modelos Lineares Simples II

No tutorial anterior afirmamos que os modelos lineares unificaram muitos dos testes clássicos da estatística frequentista em um arcabouço comum. Uma dos elementos importantes para essa unificação foi a transformação das variáveis preditoras categóricas em variáveis indicadoras, também chamadas de dummies. O procedimento consiste basicamente em criar novas variável para representar as categoria da variável preditora. Para cada categoria há uma indicadora contendo 1 quando a observação pertence ao nível referente e 0 quando não pertence. Para cada nível precisamos de uma indicadora, com exceção do nível que é considerado basal, indicado pelo 0 em todas as outras variáveis indicadoras relativas aos outros níveis da variável categórica. Dessa forma, para uma variável preditora categórica com 4 níveis teremos 3 variáveis indicadoras no modelo e se tivermos duas variáveis categóricas preditoras, cada uma com 3 níveis, teremos 4 variáveis indicadoras, duas para cada variável.

No nosso exemplo de anova a variável preditora solo tinha os níveis: arenoso, argiloso e húmico.Neste caso, cada nível de solo seria representada pelas indicadoras da seguinte forma:

O resultado deste modelo irá apresentar um intercepto e dois coeficientes, um associado ao nível argiloso, outro ao nível humico. O nível arenoso, não contemplado com uma variável indicadora ¹⁾ é estimado no intercepto. Essa estimativa do intercepto, no caso do exemplo apresentado na aula de anova, representa a produção média nesse tipo de solo. Os outros coeficientes apresentados pelo modelo representam o quanto os solos argiloso ou humico são em média diferentes do arenoso. Vamos criar um modelo e interpretar os coeficientes em um conjunto de dados que tem a variável solo agora com quatro níveis.

colhe~solo

Para entender o procedimento das variáveis indicadoras vamos construir explicitamente nossas variáveis indicadoras.

colhe ~ arenoso + argiloso + humico 

A transformação de variáveis resposta categóricas para variáveis indicadoras permite que o modelo linear possa tratar indistintamente variáveis categóricas e contínuas. Essa unificação simplifica muito a construção de modelos e sua operacionalização, entretanto, entender que as categorias foram transformadas em indicadoras é essencial para entender e interpretar o resultado apresentado pelos modelos lineares.

Um outro elemento importante na unificação dos testes clássicos pelos modelos lineares foi a utilização da partição da variação como critério para analisar os modelos, o mesmo método que aprendemos no roteiro de teste de ANOVA é utilizado para tomada de decisão da comparação entre modelos. Caso não tenha sedimentado bem o conceito, refaça o roteiro teste de ANOVA e reveja a videoaula, isso será importante para acompanhar o restante desta atividade. Assim como na análise de variância clássica onde a preditora é uma variável categórica, podemos particionar a variação total existente nos dados nas porções explicadas e não explicadas por uma variável preditora contínua. Esse particionamento da variação, no caso de um modelo linear simples, é análogo ao que acontece em uma análise de variância tradicional, com a diferença que a análise de variância tradicional só pode ser aplicada para variáveis preditoras categóricas.

A nossa próxima atividade usa os dados de crescimento de lagartas submetidas a dietas de folhas com diferentes concentrações de taninos presente no livro The R Book (Crawley, 2012). São apenas duas variáveis, growth, o crescimento da lagarta, e tannins, a concentração de taninos. O objetivo é verificar se há relação entre o crescimento da lagarta e a concentração de taninos da dieta.

A partir da partição da variação dos desvios quadráticos explicado pela preditora (tannin) e não explicado (residuos) podemos montar uma tabela de anova da mesma forma que fizemos no tutorial Testes Clássicos: ANOVA

Vamos agora fazer a tabela de Anova no R

Com esses mesmos dados podemos construir o modelo denominado mínimo ou nulo. No experimento de crescimento da lagarta, a hipótese nula é que tannin não tem efeito em growth. Podemos construir o modelo que representa esse cenário, criando o modelo em que growth não tem preditoras.

Não há muito a ser interpretado nos resultados do modelo mínimo, mas reconheça os valores que são estimados no resultado do modelo em Coefficients Estimate. Note que neste modelo não há inclinação, pois não existe preditora. Na tabela de ANOVA verifique o valor do Sum Sq Residuals e reconheça onde ele se encontra na tabela de ANOVA montada na planilha eletrônica.

O procedimento de partição da variação e calculo da razão entre variâncias pode ser generalizado e utilizada como critério para comparação de modelos aninhados. Modelo são considerados aninhados quando o mais complexo engloba todos as variáveis do mais simples, e por consequência, o modelo mais simples não pode explicar mais variação do que o mais complexo. O modelo lmLag00 é aninhado ao modelo lmLag01 e por isso podemos fazer a comparação entre eles pelo critério de partição da variação como segue.

Na comparação de modelos a razão de variância é relacionada ao quanto o modelo mais complexo explica da variação dos dados em relação ao modelo mais simples. De uma certa forma, a tabela de ANOVA no R sempre apresenta a partição da variância da comparação de dois modelos aninhados. A tabela de ANOVA de um modelo isolado é equivalente a comparar o modelo em questão com o modelo mínimo (nulo) correspondente. O entendimento desses conceitos é fundamental para utilizarmos a partição de variação como crítério para a tomada de decisão sobre qual modelo melhor explica nossos dados.

Nesse ponto, é desejável que tenha entendido que a partição da variância de um modelo é correspondente a compará-lo com o modelo mínimo (nulo), ou seja, quanta variância o modelo é capaz de explicar em relação ao modelo sem nenhuma preditora. Este modelo mínimo, representado por apenas um parâmetro, a média da variável resposta, apresenta toda a variação dos dados contida nos seus resíduos.