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cursos:planeco:roteiro:07-classrcmdr

Testes Clássicos

Os testes clássicos estatísticos estão inseridos no escopo da estatística frequentista ou inferência frequentista. Nessa abordagem a inferência é baseada na frequência ou proporção dos dados amostrados. A maior parte dos testes frequentistas clássicos foi desenvolvida independentemente para a solução de problemas distintos. Por isso, não há uma unificação analítica completa, que só aconteceu posteriormente com a integração oferecida pelos modelos lineares, como veremos nas próximas aulas. Nos testes clássicos a aplicação é definida basicamente pela natureza das variáveis resposta (dependente) e preditora (independente) e pela hipótese estatística subjacente.

Principais testes clássicos frequentistas

A tabela abaixo apresenta os principais testes clássicos frequentistas e sua aplicação com relação às variáveis preditoras e resposta e à hipótese estatística subjacente.

tabTestes.png

Regressão Linear Simples

Análise de Resíduos de Regressão Linear

Quando realizamos uma análise mais aprofundada sobre a relação entre duas variáveis numéricas contínuas podemos ajustar uma reta que represente o melhor ajuste entre os dados e que possa nos ajudar a prever valores da variável resposta (eixo Y) a partir de valores da variável preditora (eixo X). Se o ajuste é uma reta, esse tipo de análise é chamado de Análise de Regressão Linear. A explicação detalhada sobre como funciona essa análise foi apresentada na aula sobre Análise de Regressão Linear. Alguns aspectos importantes que precisam ser lembrados para entendermos esse tutorial:

  • A reta ajustada (também denominada “linha de regressão”) passa obrigatoriamente pelo ponto que representa a média da variável Y e a média da variável X.
  • Os pontos das observações estarão distribuídos em torno dessa reta.
  • A distância vertical (projetada no eixo Y) de cada ponto até a reta é chamada de resíduo, desvio ou erro daquele ponto.
  • A linha de regressão é aquela que minimiza os resíduos (na verdade, a soma dos quadrados dos resíduos)

O objetivo desse tutorial é aprender a fazer uma análise de regressão linear e a avaliar a distribuição dos erros/resíduos, pois os modelos de regressão linear possuem importantes premissas relacionadas a eles.


O que são os erros/resíduos e como calcular?

Os erros/resíduos indicam o quão longe os valores de Y observados estão dos valores de Y estimados pela linha de regressão ajustada. Eles estão representados em verde na figura abaixo:

residuos.png

Os erros/resíduos de cada observação são calculados projetando-se no eixo Y o valor de Y observado e o valor de Y estimado (ou predito) pela reta e calculando-se a diferença entre esses dois valores.

residuosyestimadoyreal.jpg

Premissas de uma Análise de Regressão Linear

- LINEARIDADE - Uma reta representa o melhor ajuste aos dados

- DISTRIBUIÇÃO NORMAL DOS ERROS/RESÍDUOS - Para cada valor de X, os erros devem seguir uma distribuição normal. Se fossem feitas muitas réplicas para cada um dos valores de X, a distribuição dos erros referentes aos vários valores obtidos para Y nas muitas réplicas seguiria uma distribuição normal (Veja as curvas em vermelho na figura de homoscedasticidade abaixo). Porém, em geral, não são feitas réplicas e é necessário assumir que os resíduos seguem essa distribuição.

- VARIÂNCIA DOS ERROS/RESÍDUOS CONSTANTE - Para qualquer valor de X, a variância dos erros é a mesma. Se fossem feitas muitas réplicas para cada um dos valores de X, a distribuição dos erros referentes aos vários valores obtidos para Y nas muitas réplicas apresentaria uma mesma variância para qualquer valor de X. Porém, em geral, não são feitas réplicas e é necessário assumir que essas variâncias são iguais.

Quando essa premissa é cumprida, temos o que chamamos de homoscedasticidade: desvios_uniformes_joao_batista.png

Quando ela não é cumprida, observamos uma heteroscedasticidade. Note na figura abaixo que para valores pequenos de X a variância é menor (distribuição estreita) e que para valores maiores de X temos uma variância grande (distribuição larga): desvios_heterocedasticos_joao_batista.png

Agora vamos estimar os valores dos resíduos para um exemplo hipotético abaixo:

grafico_calcularresiduos_rcmdr.jpg

Faça uma tabela como essa e anote os valores aproximados que você consegue obter por esse gráfico:

X Yobservado Yestimado Resíduo
1
2
3
4
5
6

Agora vamos checar no Rcommander esses mesmos dados: 1) Abra o Rcommander (se você não sabe como fazer isso, veja aqui)

2) Crie um novo conjunto de dados no menu Dados > Novo conjunto de dados. Defina o nome como dados1. Preencha a nova planilha de dados com as informações da figura abaixo e clique OK. Agora você já tem os dados para analisar!

dados1.png

3) Para ajustar um modelo de regressão linear simples vá ao menu Estatística > Ajuste de Modelos > Regressão Linear…. Na janela que se abre, escolha a coluna Y dos dados como Variável resposta e a coluna X dos dados como Variável Explicativa e clique OK.

4) Se tudo correu bem, aparecerá na janela /Outputs o resumo dos resultados da regressão. Caso não apareça, vá em Modelos > Resumir modelo e clique em OK1).

5) Para visualizar os Y estimados e os resíduos no Rcommander vá em Modelos > Adicionar estatísticas calculadas aos dados. Na janela que se abrir, selecione apenas as opções Valores ajustados e Resíduos. Agora clique no botão Ver conjunto de dados e veja as colunas adicionadas. Compare os resultados da regressão feita no Rcommander com os que você calculou a partir do gráfico.

Checando as premissas

Ok, agora que você entendeu como são calculados os erros/resíduos, vamos trabalhar com conjuntos de dados maiores para podermos entender como checar as premissas da análise de regressão linear de uma maneira um pouco mais realista:

Baixe os arquivos de dados para o seu diretório:

Descrição dos conjuntos de dados:

Atenção: esses conjuntos de dados não são reais, são simulações produzidas com o objetivo de inserir nos dados alguns padrões que frequentemente encontramos em estudos reais

Imagine que um grupo de pesquisadores vem trabalhando há muito tempo com peixes da família Rivulidae que ocorrem em lagos temporários. Esses peixes crescem e se reproduzem nesses lagos temporários durante o período de chuvas e seus ovos ficam dormentes durante o período de seca. Os pesquisadores estão interessados em compreender as relações tróficas e as possíveis limitações de espaço nas áreas de ocorrência desses peixes.

Do total de lagos temporários existentes, foram sorteados 20 lagos e na época chuvosa os seguintes dados foram coletados:

  • - Biomassa de algas
  • - Biomassa de insetos aquáticos
  • - Volume do lago
  • - Biomassa de peixes herbívoros
  • - Biomassa de peixes insetívoros
  • - Número de indivíduos adultos da espécie mais abundante (Austrolebias charrua)

- O primeiro conjunto de dados (algas_peixes.csv) foi obtido com o objetivo de analisar se a biomassa de algas existente nos lagos influencia a biomassa de peixes herbívoros e se essa relação é linear.

- O segundo conjunto de dados (algas_peixes2.csv) foi obtido com o mesmo objetivo anterior, mas as medidas foram tomadas no ano seguinte (ano 2).

- O terceiro conjunto de dados (insetos_peixes.csv) foi obtido com o objetivo de analisar se a biomassa de insetos existente nos lagos influencia a biomassa de peixes insetívoros e se essa relação é linear.

- O quarto conjunto de dados (vol_inds.csv) foi obtido com o objetivo de analisar se o volume de água de cada lago afeta o número de indivíduos da espécie Austrolebias charrua, que é uma das espécies dominantes nesses lagos, e se essa relação é linear.

O primeiro passo é ajustar um modelo de regressão linear aos dados obtidos.

Inicialmente vamos trabalhar com o conjunto de dados algas_peixes.csv

Importe o arquivo para o Rcommander (Dados > Importar arquivos de dados > de arquivo texto , clipboard, URL) e importe os dados algas.peixes. Atenção, pois o Separador de Campos que deve ser selecionado para essa planilha de dados é semicolons [;].

Conheça os dados, clicando no botão Ver conjunto de dados e também em Estatísticas > Resumos > Conjunto de dados ativo….

Avalie visualmente a relação entre as variáveis com o gráfico de dispersão em: Gráficos > Diagramas de dispersão. Na aba de Opções marque Boxplots marginais, Smooth line e Mostre espalhamento (spread). Como o objetivo dos pesquisadores é analisar o efeito da biomassa de algas sobre a biomassa de peixes, faça o gráfico selecionando biomassa de peixes no eixo Y e biomassa de algas no eixo X.

Ajuste um modelo de regressão linear da biomassa de peixes em função da biomassa de algas. Para isso, vá em Estatística > Ajuste de Modelos > Regressão linear. Escolha a biomassa de peixe como Variável resposta e biomassa de algas como Variável Explicativa.

No menu Modelos podemos olhar o resumo dos resultados do modelo clicando em Resumir modelo, olhando os valores dos coeficientes dos modelos. Como vimos anteriormente, podemos também obter os resíduos e os valores ajustados do modelo clicando em Adicionar estatísticas calculadas aos dados e selecionando Valores ajustados e Resíduos. Esses valores serão colocados como colunas novas na planilha de dados e para visualizá-los, basta clicar no botão Ver conjunto de dados.

Como saber se os erros/resíduos seguem uma distribuição normal?

Para isso vamos usar os resíduos da regressão que foram incluídos como uma coluna na sua planilha de dados e aparecem com o nome “residuals.RegModel.*” (o “*” será um número que vai depender de quantos modelos você já fez até aqui. Por exemplo, se esse é o segundo modelo que você está calculando desde que abriu o Rcommander, a variável vai se chamar “residuals.RegModel.2”. Mas não se preocupe com esse número).

A partir do menu Gráficos, escolha Histograma e selecione a variável “residuals.RegModel.*”. Essa figura se assemelha a uma distribuição normal?. Se sim, isso é um bom indício de que seus resíduos têm uma distribuição normal. Se não, será necessário repensar se a regressão linear simples é a análise mais adequada para esses dados e/ou se é necessário fazer alguma transformação de variáveis 2).

Essa é uma análise muito simplista e mais para frente nesse roteiro vamos conhecer outros métodos para avaliar a distribuição dos resíduos.

Como saber se a variância dos erros/resíduos é constante?

Considerando que a reta obtida pelo modelo linear separa os pontos observados de Y de modo que eles fiquem distribuídos da melhor forma possível acima e abaixo da reta, teremos tanto valores positivos quanto valores negativos de resíduos para os diferentes valores de X.

Para um dado valor de X, teremos um valor de Y_estimado (que aparece na planilha de dados como “fitted.RegModel.*”). Relembrando, os Y_estimados são os valores projetados em Y quando o valor de X cruza a reta de regressão.

Se esperamos que a variância dos resíduos seja constante ao longo dos valores de X, deveríamos também esperar que o espalhamento dos valores dos resíduos (positivos ou negativos) sejam similares para os diferentes valores de Y_estimado.

Então, podemos fazer um gráfico em que relacionamos os valores de Y_estimado (“fitted.RegModel.*”) e os valores dos Resíduos (“residuals.RegModel.*”) para cada Y_estimado. Com esse gráfico podemos avaliar se a distribuição dos resíduos é similar ou se há um maior ou um menor espalhamento dos valores de resíduos para alguns valores de Y_estimado.

Para fazer esse gráfico, vá para o menu Gráficos > Diagrama de dispersão, escolha para o eixo Y os resíduos (que foram incluídos na sua planilha de dados como residuals.RegModel.*) e para o eixo X os valores estimados de Y (que também foram incluídos na sua planilha de dados, como fitted.RegModel.*). Antes de dar “OK”, vá até a aba Opções e deixe selecionada apenas a caixa “Smooth line”.

Como você interpreta esse gráfico? Você nota algum padrão na distribuição dos erros/resíduos?

Esse mesmo gráfico que é utilizado para avaliar se a variância é constante (homoscedasticidade), também pode ser utilizado para checar se existe alguma assimetria, algum viés (positivo ou negativo) ou alguma tendência de que a relação seja melhor definida por uma curva do que por uma reta.

A figura abaixo mostra vários exemplos desse gráfico entre Resíduos e Y_estimado, com ou sem homoscedasticidade e com ou sem vieses (Biased ou Unbiased):

resid-plots.gif

Ao interpretar esses gráficos, lembre-se sempre que aqui não estão sendo representados os seus dados brutos, e sim os resíduos e os valores de Y_estimado!


Como saber se alguma observação está influenciando demais os parâmetros da regressão?

Além de testar as premissas, também é importante fazer um diagnóstico para verificar se existem outliers e se eles influenciam muito o resultado da análise de regressão.

Para medir a influência que uma dada observação tem sobre a inclinação da reta estimada pelo modelo de regressão linear, usamos uma medida denominada “Distância de Cook” que é calculada para cada observação e avalia a relação entre o erro/resíduo (e) e a leverage (hii) da observação. A leverage (que pode ser traduzida como “alavancagem”) indica o quanto um dado valor de X é extremo considerando a amplitude dos demais valores de X. Repare, pela equação abaixo, que quanto maior for o erro/resíduo (e) e a leverage (hii) de uma dada observação, maior será a distância de Cook referente a ela, ou seja, sua influência sobre a estimativa dos parâmetros da distribuição. Porém, se a leverage for alta para uma dada observação, mas o erro/resíduo for pequeno, essa observação não terá um valor alto de Distância de Cook, ou seja, não terá tão grande influência sobre a inclinação da reta.

distancia_cook_equacao_portugues.png

Valores altos de Distância de Cook para uma dada observação indicam que se ela fosse retirada das análises, a inclinação da reta de regressão poderia mudar muito. Veja o exemplo abaixo, do livro de Quinn & Keough (2008), mostrando o efeito de três diferentes observações sobre a inclinação da reta. Os números das retas (1, 2 e 3) indicam como seria a reta se aquela determinada observação (1, 2 ou 3, respectivamente) fosse mantida no conjunto de dados. A reta 1 indica como ficaria a reta sem as observações 2 e 3. figuraleverageq_k.jpg

Se você não entendeu essa figura, peça ajuda!

Então, podemos fazer um gráfico em que plotamos o valor dos Resíduos em relação aos valores de leverage e nesse gráfico os pontos que possuírem as maiores leverage e os maiores erros/resíduos (positivos ou negativos) serão as observações com maiores Distâncias de Cook e consequentemente, com maiores influências sobre os parâmetros da reta.

Devido ao tempo escasso, não vamos construir esse gráfico passo-a-passo. Vamos usar uma opção mágica que vai mostrar 4 gráficos de diagnóstico de uma só vez e incluirá esse gráfico para que você possa analisar.

O primeiro passo é ajustar um modelo de regressão linear aos dados obtidos. Para o primeiro conjunto de dados (algas_peixes.csv), nós já fizemos isso, então, vamos apenas recuperar o resumo do modelo para depois fazermos os gráficos sobre esse modelo:

Vá ao menu Modelos > Resumir modelos.

Agora, vamos definir que sejam construídos os 4 gráficos de diagnóstico: Vá ao menu Modelos > Gráficos > Diagnósticos gráficos básicos.

plotdiagnostico.png

Entendendo essa figura:

- Os dois gráficos à esquerda relacionam os resíduos aos valores de Y_estimado. Dentre esses, o gráfico inferior utiliza os resíduos padronizados3) para diminuir eventuais problemas com assimetria (skewness) nos dados. Em geral, basta checar um deles e já será possível identificar problemas de heteroscedasticidade e de viés nos resíduos.

- O gráfico superior à direita é o gráfico quantil-quantil. Ele nos ajuda a identificar se os resíduos 4) se ajustam bem a uma distribuição normal (checagem da normalidade dos resíduos). Se os pontos desse gráfico estiverem bem próximos da linha diagonal (observem principalmente as extremidades), isso indica que os valores dos resíduos estão bem ajustados a uma distribuição normal. Se nas extremidades os pontos estiverem distantes da linha, a distribuição dos resíduos é assimétrica, apresentando caudas mais longas ou mais curtas, a depender da posição em que ocorrem esses pontos distanciados .

- O gráfico inferior à direita é o gráfico que mostra a relação entre resíduos (padronizados) e a leverage das observações. É nesse gráfico que podemos também conferir a Distância de Cook. As linhas vermelhas tracejadas indicam os limites para valores de distância de Cook que são considerados altos (acima de 0,5). Pontos localizados fora dessa linha tracejada são observações com alta Distância de Cook e que devem, portanto, ser analisados cuidadosamente. Repare que os pontos com as maiores Distâncias de Cook têm números que ajudam você a identificar a qual observação o ponto se refere.

Salve esse conjunto de gráficos como .pdf e identifique-o com o nome do arquivo de dados


PARA ENTREGAR ANTES DO INÍCIO DA PRÓXIMA AULA

Repita o mesmo procedimento realizado acima para os conjuntos de dados “algas_peixes2.csv” e “vol_ind.csv” e avalie quais premissas estão sendo atendidas ou não para cada um. Envie pelo formulário abaixo ou pelo link do formulário.

1) Os gráficos de diagnóstico dos dois conjuntos de dados;

2) Para cada conjunto de dados, faça sua interpretação sobre a distribuição dos resíduos, incluindo avaliação de:

  • 2.1 - normalidade;
  • 2.2 - homoscedasticidade;
  • 2.3 - influência dos pontos.

ANOVA: Análise de Variância

Na aula sobre teste de hipótese utilizamos técnicas de Monte Carlo para testar a hipótese de que duas médias são distintas, ou que uma é maior/menor que outra, tanto no exemplo do Tutorial Árvores do Mangue, quanto no exercício Altura dos alunos. Em ambos os casos estávamos comparando médias de dois grupos distintos, por exemplo, dois tipos de solos no mangue ou gênero dos alunos. O nosso procedimento foi análogo ao teste frequentista t de Student, mas a forma de obter o p-valor foi diferente. Nos procedimentos anteriores, simulamos o cenário nulo e comparamos o valor observado (diferença das médias) com a distribuição de probabilidades obtidas por meio dessa simulação. Na abordagem clássica do teste frequentista t de Student, o valor observado (diferença das médias) é comparado com uma distribuição estatística t conhecida previamente, que foi desenvolvida pelo matemático William Gosset.

Caso não esteja confortável com o procedimento de simulação do cenário nulo e consequente obtenção do p-valor , refaça o tutorial teste de hipótese. No procedimento apresentado está a lógica básica por trás da maioria dos testes de hipótese clássicos.

A Análise de Variância ( ANOVA ) é uma generalização do teste t de Student, desenvolvida por Ronald Fisher há mais de 100 anos (1918). Apesar de idoso, é um teste muito popular, talvez o mais utilizado em ciências naturais. A hipótese subjacente da ANOVA é de diferença entre as médias de 2 ou mais grupos. O procedimento para o cálculo da estatística da ANOVA, chamada de F, está associado à partição da variância dos dados, por isso o nome. Uma maneira clássica de apresentar o resultado do teste de ANOVA é a a chamada tabela de ANOVA. Essa tabela será utilizada para avaliarmos outros modelos também, por isso é importante entender o que ela nos diz.


Partição da Variância

O teste de ANOVA está baseado na premissa de que os efeitos entre os grupos são aditivos e com isso é possível particionar a variação dos dados na porção que é associada aos grupos e a que representa a variação não explicada (resíduos ou erros). A soma destas variações resultam na variação total associada aos dados.

Para exemplificar a partição da variância associada à ANOVA, vamos usar o exemplo de dados de colheita de um cultivar em diferentes tipos de solos, apresentado no livro de Robert Crawley, The R Book, como segue abaixo:

Tradução livre da descrição do livro “The R Book” (Crawley, 2007)

  Robert Crawley

“… a melhor forma de entender o que está acontecendo é trabalharmos um exemplo. Temos um experimento em que a produção agrícola por unidade de área é medida em 10 campos de cultivo selecionados aleatoriamente de cada um de três tipos diferentes de solo. Todos os campos foram semeados com a mesma variedade de semente e manejados com as mesmas técnicas (fertilizantes, controle de pragas). O objetivo é verificar se o tipo de solo afeta significativamente o rendimento de culturas, e caso afete, quanto.”5)

A representação gráfica desses dados pode ser feita em um boxplot.

solosAnova.png

É possível notar que há uma grande variação na produtividade entre os solos e também muita variação dentro de um mesmo tipo de solo. Para ter alguma confiança para afirmar que o solo influencia a produtividade, podemos nos basear na variação dos dados e na partição em seus componentes, ou seja, dentro de cada grupo (ou intra grupo) e entre os grupos do tratamento (tipos de solos). Primeiro vamos definir o que é a variação total dos dados.


Variação total

variacaoTotalAnova.png A variação total dos dados é baseada nos desvios das observações em relação à grande média. No gráfico esta variação é representada pelos segmentos verticais coloridos. A grande média é definida como a média de produtividade de todos os campos de cultivo (n=30), independente do tipo de solo, e é representada pela linha preta horizontal tracejada.

Medimos essa variação total pela soma quadrática que, nada mais é do que os valores dos desvios dos dados em relação à grande média (segmentos verticais no gráfico) elevados ao quadrado e posteriormente somados.

$$ SQ_{"total"} = \sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^n (y_{ij} - \bar{\bar{y}})^2 $$


Variação intra grupo

varIntraAnova.png A variação intra grupo é a variação que não está relacionada ao efeito do tratamento (no caso, os tipos de solo). Essa variação é baseada nos desvios dos valores observados em relação à média do nível de tratamento (tipo de solo ou grupo), que na figura acima estão representados pelas barras cinza verticais.

Mais à frente iremos chamar esses desvios de resíduos e muitos estatísticos também os chamam de erro. Não se assustem, eles significam a mesma coisa e causam confusão, mesmo. Para resumir, estamos falando da variação não explicada pelos tratamentos.

Para quantificar essa variação utilizamos a soma quadrática intra grupo, obtida a partir desses valores de desvios 6), ou seja, a diferença entre cada valor observado em relação à média do seu grupo, elevada ao quadrado e posteriormente somadas.

$$ SQ_{"intra"} = \sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^n (y_{i,j} - \bar{y}_{i})^2 $$


Variação entre grupos

varEntreAnova.png Por fim, temos a variação entre os grupos. Essa variação está diretamente relacionada ao efeito dos níveis do nosso tratamento, que no caso são os tipos de solo. Ou seja, quanto maior o efeito do tipo de solo na produtividade, maior será essa variação. Ela é definida pelos desvios das médias dos grupos em relação à grande média (segmentos verticais cinzas). Essa variação pode ser representada substituindo cada valor observado (círculos coloridos) pela média do seu grupo (círculos pretos). Os desvios desses valores médios dos grupos em relação à grande média, elevado ao quadrado e somados, representam a soma quadrática entre grupos.

$$ SQ_{"entre"} = \sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^n (\bar{y}_{i} - \bar{\bar{y}})^2 $$


Variação aditiva

Acabamos de particionar a variação dos dados de um teste de ANOVA em seus componentes básicos: a variação entre e intra grupos. Uma característica importante dessa partição é que suas partes são aditivas, ou seja, a variação total é a soma da intra e entre grupos.

$$ SQ_{"total"} = SQ_{"entre"} + SQ_{"intra"} $$


Estatística F

A grande sacada de Sir Fisher foi entender que essa partição da variância aditiva pode ser utilizada para compor uma estatística que representa o quanto a variação do efeito do tratamento é maior que a variação não explicada pelo tratamento. A estatística F é definida pela razão do valor médio da variação entre grupos e o valor médio da variação intra grupos.

Os valores médios de variação (variância) são calculados dividindo as somas quadráticas pelos graus de liberdade. No caso da variação entre grupos do nosso exemplo o total de graus de liberdades é igual ao número de grupos no tratamento menos 1 (em função do parâmetro média geral usado para o seu cálculo). Na variação intra grupos o total de graus de liberdade é igual ao número de observações (30 valores usados para o seu cálculo) menos 3 (número de parâmetros utilizados para o seu cálculo, as médias dos grupos).

$$MQ_{"entre"} = \frac{SQ_{"entre"}}{gl_1}$$

$$MQ_{"intra"} = \frac{SQ_{"intra"}}{gl_2}$$

$$F_{(gl_1,gl_2)} = \frac{MQ_{1}}{MQ_{2}}$$

sendo:

  • F: estatística F
  • gl: graus de liberdade
  • ${_1}$: entre grupos
  • ${_2}$: intra grupos

A probabilidade de ocorrência de valores da estatística F sob um cenário nulo segue uma distribuição desenvolvida por Sir Ronald Fisher e por George Snedecor. Essa distribuição possui dois parâmetros, os graus de liberdade entre e intra grupos. Assim, para calcular o p-valor para um dado valor de F observado no nosso estudo, usamos os graus de liberdade entre grupos e os graus de liberdade intra grupos para consultarmos uma tabela de F ou utilizarmos algum programa que tenha essa distribuição definida.


Coeficiente de determinação

Outra estatística muito utilizada baseada na partição de variação é o coeficiente de determinação, que define o quanto da variabilidade dos dados é explicado pelo fator de interesse, no nosso exemplo, os tipos de solos. O coeficiente de determinação (R²) é calculado pela razão entre a variação explicada e a variação total dos dados.

$$ R^2 = \frac{SQ_{"entre"}}{SQ_{"entre"} + SQ_{"intra"}} $$


Tabela de ANOVA

Para fixar esses conceitos vamos construir uma tabela de ANOVA em uma planilha de Excel ou LibreOffice.

  • baixe o arquivo crop.xlsx;
  • abra em uma planilha eletrônica;

crop.png

  • 1) a partir dos dados de produtividade (colheita) obtidos, calcule a média de cada grupo e a média geral e guarde nas células correspondentes à direita, na coluna K;
  • 2) na coluna “desvioTotal” calcule o quanto cada observação desvia da média geral;
  • 3) na coluna “desvioIntra” calcule o quanto cada observação desvia da média do seu grupo;
  • 4) na coluna “desvioEntre” calcule, para cada observação, o quanto a média do seu grupo desvia da média geral;
  • 5) nas colunas de desvio quadrático (dq*) correspondentes a cada coluna anterior, eleve ao quadrado cada um dos desvios calculados anteriormente.
  • O que representam as somas das colunas (dq*)?
  • 6) usando as orientações acima e as informações fornecidas na aula complete a tabela de ANOVA;
  • 7) usando a dica abaixo, calcule o p-valor e insira na tabela de ANOVA;

Como calcular o p-valor a partir do F

  • A função DIST.F no Excel ou LibreOffice calcula o p-valor a partir da estatística F e graus de liberdade;
  • usualmente a função recebe o valor de F, seguido dos graus de liberdade entre e intra grupos;
  • o resultado da função DIST.F é a probabilidade cumulativa;
  • o p-valor é igual a 1 menos essa probabilidade.
  • 8) a partir das dicas abaixo, repita o teste no Rcmdr e compare os resultados;

ANOVA no Rcmdr

  • importe os dados apenas com as colunas de dados brutos;
  • o menu Estatísticas está separado em tipos de estatísticas e qual o parâmetro associado ao teste de hipótese estatístico;
  • o nosso teste é sobre médias, portanto no sub-menu Médias;
  • nele há a opção ANOVA para um fator (one way)…
  • o resultado aparecerá na janela Output.
  • 9) faça um gráfico que represente bem os dados;
  • 10) interprete os resultados obtidos.

Exercício Anova

upload.wikimedia.org_wikipedia_commons_1_1d_delphinium_nuttallianum_1831.jpg

Delphinus nuttallianum

Vamos usar para esse exercício o exemplo do ótimo livro de estatística para ecólogos de Gotelli & Ellison (veja nossa lista de leituras recomendadas).

O experimento descrito analisou o efeito do degelo da primavera no crescimento e floração de uma planta alpina (Delphinus nuttallianum). Nesse experimento quatro parcelas foram mantidas sem nenhuma manipulação (unmanipulated), quatro foram aquecidas fazendo com que o degelo ocorresse antes do normal na primavera (treatment) e quatro foram manipuladas contendo toda a estrutura dos aquecedores, sem que estes fossem ligados (control). Os resultados do tempo de floração (dias) em cada parcela são apresentado abaixo:

Unmanipulated Control Treatment
109 12
121113
121115
131216
  • Organize esses dados em um planilha de forma que nas linhas estejam as observações e nas colunas as variáveis, no caso a reposta e preditora7).
  • Construa a tabela de ANOVA e calcule o R² para esses dados em uma planilha eletrônica.




PARA ENTREGAR ANTES DO INÍCIO DA PRÓXIMA AULA:

Inclua os seguintes produtos no formulário a seguir ou pelo link do formulário

1) Para os dados de solos e produtividade (Crawley, 2007):

  • 1.1- a tabela de ANOVA completa gerada na planilha eletrônica;
  • 1.2- a tabela de ANOVA resultante do teste no Rcmdr;
  • 1.3- um gráfico para representar os resultados;
  • 1.4- a interpretação dos resultados (máximo de 5 linhas).

2) Para os dados de Delphinus nuttallianum:

  • 2.1- a tabela de ANOVA completa gerada em uma planilha eletrônica;
  • 2.2- um gráfico para representar os resultados;
  • 2.3- interpretação dos resultados desse experimento (máximo de 5 linhas)
  • 2.4- a reposta para a seguinte questão: Por que o unmanipulated não é o controle para o tratamento que manipulou o degelo?(máximo 5 linhas)

1)
não se preocupe com as opções que aparecem na janela que se abrirá
2)
posteriormente falaremos disso
3)
se tiver interesse em entender como é feita essa padronização, utilize a ajuda do Rcommander ou do R, mas não precisa fazer isso nesse momento
4)
note que ele também está usando resíduos padronizados
5)
The best way to see what is happening is to work through a simple example. We have an experiment in which crop yields per unit area were measured from 10 randomly selected fields on each of three soil types. All fields were sown with the same variety of seed and provided with the same fertilizer and pest control inputs. The question is whether soil type significantly affects crop yield, and if so, to what extent.
6)
resíduos ou erros
7)
Essa é a estruturação básica dos dados normalmente usada nas analises, acostume-se com ela!!
cursos/planeco/roteiro/07-classrcmdr.txt · Última modificação: 2019/03/29 09:54 por adalardo