Testes Clássicos [Laboratório de Ecologia de Florestas Tropicais]

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====== Testes Clássicos ======


===== Anova =====

==== Tabela de Anova ====

<WRAP center round box 80%>
Baixe o arquivo {{ :planeco:roteiro:colheita.csv |}} e preencha a tabela de anova com esses dados. Testando a hipótese de que existem diferenças na produção agrícola em diferentes tipos de solo.
Os cálculos devem ser feitos passo-a -passo, sem uso de uma função específica.

<WRAP center round box 100%>
{{:planeco:roteiro:tabanova01.png?1000|}}
</WRAP>


</WRAP>
=== Desvios quadráticos total ===

$$SS_{total} = \sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^n (y_{ij} - \bar{\bar{y}})^2 $$

=== Desvios quadráticos internos ao grupo ===
 
$$SS_{in} = \sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^n  (y_{i,j} - \bar{y}_{i})^2 $$

=== Desvio quadrático entre os grupos ===

$$SS_{en} = \sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^n  (\bar{y}_{i} - \bar{\bar{y}})^2 $$


<WRAP center round todo 80%>
  * O resto é com vc, COMPLETE A TABELA!
  * Faça o teste usando reamostragem no **//RSampling//**
  * Faça gráficos para apresentar os dados
  * Inclua o resultado do teste de ANOVA no gráfico
</WRAP>


=====Regressão Linear Simples =====

====Análise de Resíduos de Regressão Linear====

Quando realizamos uma análise mais aprofundada sobre a relação entre duas variáveis numéricas contínuas podemos  ajustar uma reta que represente o melhor ajuste entre os dados e que possa nos ajudar a prever valores da variável resposta (eixo Y) a partir de valores da variável preditora (eixo X). Se o ajuste é uma reta, esse tipo de análise é chamado de **Análise de Regressão Linear**. A explicação sobre como funciona essa análise foi apresentada na aula sobre Análise de Regressão Linear. Alguns aspectos importantes para entendermos esse tutorial:
  * A reta ajustada (também denominada "linha de regressão") passa obrigatoriamente pelo ponto que representa a média da variável Y e a média da variável X.  
  * A linha de regressão é aquela que minimiza os resíduos (na verdade, **a soma dos quadrados dos resíduos**)
  * Os pontos das observações estarão distribuídos em torno dessa reta.
  * A distância vertical (projetada no eixo Y) de cada ponto até a reta é chamada de  **resíduo**  ou **erro** dos pontos. 

Nesse tutorial nosso interesse é **avaliar como os resíduos/erros estão distribuídos**, pois os modelos de regressão linear possuem importantes premissas relacionadas a eles.

<WRAP center round important 90%>
**As premissas de um modelo de regressão linear são relativos aos termos de resíduos/erros do modelo. Se estamos falando de um modelo de regressão no qual a variável preditora é fixa (i.e. sem erros aleatórios), somente a variável resposta apresentará erro aleatório, então, as premissas também se aplicam à variável Y (resposta).**
</WRAP>


====Premissas de uma Análise de Regressão Linear====

- **LINEARIDADE** - Uma reta representa o melhor ajuste aos dados

- **DISTRIBUIÇÃO NORMAL DOS ERROS/RESÍDUOS** - Para cada valor de X, os erros seguem uma distribuição normal. Se fossem feitas muitas réplicas para cada um dos valores de X, a distribuição dos vários valores obtidos para Y (e consequentemente dos erros) nas muitas réplicas seguiria uma distribuição normal. Porém, em geral, não são feitas réplicas e é necessário assumir que esses valores seguem essa distribuição.

- **VARIÂNCIA DOS ERROS/RESÍDUOS CONSTANTE** - Para qualquer valor de X, a variância dos erros é a mesma. Se fossem feitas muitas réplicas para cada um dos valores de X, a distribuição dos vários valores obtidos para Y (e consequentemente dos erros) nas muitas réplicas apresentaria uma mesma variância para qualquer valor de X. Porém, em geral, não são feitas réplicas e é necessário assumir que essas variâncias são iguais. 

Quando essa premissa é cumprida, temos o que chamamos de **homoscedasticidade**:
{{ :planeco:roteiro:desvios_uniformes_joao_batista.png?400 |}}

Quando ela não é cumprida, observamos uma **heteroscedasticidade**:
{{ :planeco:roteiro:desvios_heterocedasticos_joao_batista.png?400 |}}


====O que são os erros/resíduos e como calcular?====
Os erros/resíduos indicam o quão longe os valores de Y observados estão dos valores de Y estimados pela linha de regressão ajustada.

{{ :planeco:roteiro:residuos.png?200 |}}

Os erros/resíduos de cada observação são calculados projetando-se no eixo Y o valor de Y observado e o valor de Y estimado (ou predito) pela reta e calculando-se a diferença entre esses dois valores. 

{{ :planeco:roteiro:residuosyestimadoyreal.jpg?400 |}}

Agora vamos estimar os valores dos resíduos para esse exemplo hipotético abaixo:

{{ :planeco:roteiro:grafico_calcularresiduos_rcmdr.jpg?400 |}}

Faça uma tabela como essa e anote os valores aproximados que você consegue obter por esse gráfico:
^X   ^Yobservado   ^Yestimado   ^Resíduo^ 
| 1| | | |
| 2| | | |
| 3| | | |
| 4| | | |
| 5| | | |
| 6| | | |


Agora vamos checar no R com esses mesmos dados:
1) Crie um diretório (//i.e.// uma pasta) para você

2) Abra o R no seu computador e mude o diretório de trabalho para o diretório que você criou, usando o menu **//Arquivo//** > **//mudar dir...//**. 

3) Crie as variáveis x e y:
<code>
x<- c(1,2,3,4,5,6)
y<- c(6,5,7,10,9,13)
</code>

4) Ajuste um modelo de regressão linear simples usando a função //lm()// e inspecione o resumo do modelo usando a função //summary()//, que fornece informações importantes sobre o modelo, incluindo os valores brutos dos erros/resíduos (//residuals//):
<code>
lm.xy<-lm(y~x)
summary(lm.xy)
</code>



====Checando as premissas====
Ok, agora que você entendeu como são calculados os erros/resíduos, vamos trabalhar com conjuntos de dados maiores para podermos entender como checar as premissas da análise de regressão linear de uma maneira um pouco mais realista:

Baixe os arquivos de dados para o seu diretório:


  * {{ :planeco:roteiro:algas_peixes.csv |algas_peixes.csv}}
  * {{ :planeco:roteiro:algas_peixes2.csv |algas_peixes2.csv}}
  * {{ :planeco:roteiro:insetos_peixes.csv |insetos_peixes.csv}}
  * {{ :planeco:roteiro:vol_inds.csv |vol_inds.csv}}


<WRAP center round info 90%>
**Descrição dos conjuntos de dados:**

Um grupo de pesquisadores vem trabalhando há muito tempo com peixes da família Rivulidae que ocorrem em lagos temporários. Esses peixes crescem e se reproduzem nesses lagos temporários durante o período de chuvas e seus ovos ficam dormentes durante o período de seca.

Do total de lagos temporários existentes, foram sorteados 20 lagos e na época chuvosa os seguintes dados foram coletados:
  * - Biomassa de algas
  * - Biomassa de insetos aquáticos
  * - Volume do lago
  * - Biomassa de peixes herbívoros
  * - Biomassa de peixes insetívoros
  * - Número de indivíduos adultos da espécie mais abundante (//Austrolebias charrua//)

- O primeiro conjunto de dados (algas_peixes.csv) foi obtido com o objetivo de analisar se a biomassa de algas existente nos lagos influencia a biomassa de peixes herbívoros e se essa relação é linear.

- O segundo conjunto de dados (algas_peixes2.csv) foi obtido com o mesmo objetivo anterior, mas em outros 20 lagos diferentes

- O terceiro conjunto de dados (insetos_peixes.csv) foi obtido com o objetivo de analisar se a biomassa de insetos existente nos lagos influencia a biomassa de peixes insetívoros e se essa relação é linear.

- O quarto conjunto de dados (vol_inds.csv) foi obtido com o objetivo de analisar se o volume de água de cada lago afeta o número de indivíduos da espécie //Austrolebias charrua// existente no lago e se essa relação é linear.

</WRAP>


Carregue o pacote //car//:
<code>
library(car)
</code>

O primeiro passo é ajustar um modelo de regressão linear aos dados obtidos.

Inicialmente vamos trabalhar com o conjunto de dados //algas_peixes.csv//

Importe o arquivo para o R e conheça os dados:
<code>
algas.peixes <- read.csv("algas_peixes.csv", sep=";")
head(algas.peixes)
summary(algas.peixes)
</code>

Avalie visualmente a relação entre as variáveis com o gráfico //scatterplot//:
<code>
scatterplot(BIOMASSA_PEIXES_HERB~BIOMASSA_ALGAS, data=algas.peixes)
</code>

Ajuste um modelo de regressão linear para as variáveis, usando a função //lm()//:
<code>
lm.algas.peixes<-lm(BIOMASSA_PEIXES_HERB~BIOMASSA_ALGAS, data=algas.peixes)
summary (lm.algas.peixes)
</code>

Use a função "names()" para saber quais são as informações que estão disponíveis sobre esse modelo:
<code>
names(lm.algas.peixes)
</code>

Se você quiser olhar detalhadamente alguma dessas informações, basta escrever o //nome_do_modelo$nome_da_informação//. Então, vamos olhar especificamente os erros/resíduos:
<code>
lm.algas.peixes$residuals
</code>

O mesmo pode ser feito para conhecer os valores ajustados (//fitted.values//), os coeficientes a e b (//coef//), etc.

===Como saber se os erros/resíduos seguem uma distribuição normal?===
Lembre dos métodos usados no tutorial de [[planeco:roteiro:05-descr|ANÁLISES EXPLORATÓRIAS DE DADOS]]. Escolha um dos métodos disponíveis para avaliar a normalidade dos dados e aplique a mesma lógica para a distribuição dos erros/resíduos.

Histograma
<code>
hist(lm.algas.peixes$residuals)
</code>

Boxplot
<code>
boxplot(lm.algas.peixes$residuals)
</code>



Gráfico Quantil-Quantil
<code>
qqnorm(lm.algas.peixes$residuals)
qqline(lm.algas.peixes$residuals)
</code>

===Como saber se a variância dos erros/resíduos é constante?===
Para qualquer valor de X (ou de //Yobservado//, ou de //Yestimado//) os valores máximos e mínimos dos resíduos devem ser similares. Então, podemos fazer um gráfico em que relacionamos os valores de //Yestimado// (ou seja, os valores de Y que são indicados pela reta de regressão) e os valores dos //Resíduos// para cada //Yestimado//. 

<code>
res.a.p<-lm.algas.peixes$residuals
</code>

<code>
yest.a.p<-lm.algas.peixes$fitted.values
</code>

<code>
plot(res.a.p~yest.a.p, xlab="Y estimado", ylab="Resíduos")
</code>

**Como você interpreta esse gráfico?
Você nota algum padrão na distribuição dos erros/resíduos?**

O mesmo gráfico (//Resíduos// X //Yestimado//) que é utilizado para avaliar se a variância é constante (homoscedasticidade), também pode ser utilizado para checar se existe alguma assimetria, algum viés (positivo ou negativo) ou alguma tendência de que a relação seja melhor definida por uma curva do que por uma reta. 

A figura abaixo mostra vários exemplos desse gráfico entre //Resíduos// X //Yestimado// relações com ou sem homoscedasticidade e com ou sem vieses (//biased// ou //unbiased//):

{{ :planeco:roteiro:resid-plots.gif |}}


===Como saber se uma reta representa o melhor ajuste?===
O primeiro gráfico a ser feito é um gráfico de dispersão (XY) simples. Uma curva suavizada pode ser plotada para ajudar a analisar a tendência geral.
<code>
scatterplot(y~x)
</code>

Adicionalmente, o gráfico de //Resíduos// X //Yestimado// (acima) também indica se existe alguma tendência de melhor ajuste a uma curva do que a uma reta. 

===Como saber se alguma observação está influenciando demais os parâmetros da regressão?===

Além de testar as premissas, também é importante fazer um diagnóstico para verificar se existem //outliers// e se eles afetam muito o resultado da análise de regressão.

Para medir a influência de uma observação usamos uma medida denominada **"Distância de Cook"** que é calculada para cada observação e leva em consideração o erro/resíduo (//**e**//) e a //leverage// (//**hii**//) da observação, que pode ser traduzida como "alavancagem". A //leverage// indica o quanto um dado valor de X influencia o valor de //Yestimado//. 

{{ :planeco:roteiro:distancia_cook_equacao_portugues.png?300 |}}

<WRAP center round tip 90%>
Valores altos de Distância de Cook significam que se esse ponto for retirado das análises, a inclinação da reta de regressão pode mudar muito. Veja o exemplo abaixo, do livro de Quinn & Keough (2008), mostrando o efeito de três diferentes pontos sobre a inclinação da reta.
{{ :planeco:roteiro:figuraleverageq_k.jpg?300 |}}
</WRAP>


Se o valor dos //Resíduos// for plotado em relação ao valor de //leverage//, os pontos que possuírem as maiores //leverage// e também erros/resíduos grandes (positivos ou negativos) serão os pontos com maiores **Distâncias de Cook** e consequentemente, com maiores **influências** sobre os parâmetros da reta. 

Devido ao tempo escasso, não vamos construir esse gráfico passo-a-passo. Vamos usar uma função mágica do R que vai mostrar 4 gráficos de diagnóstico de uma só vez e incluirá esse gráfico para que você possa analisar.

O primeiro passo é ajustar um modelo de regressão linear aos dados obtidos. 
Para o primeiro conjunto de dados (algas_peixes.csv), nós já fizemos isso, então, vamos apenas inspecionar o resumo do modelo:
<code>
summary (lm.algas.peixes)
</code>


Agora, vamos definir que sejam construídos os 4 gráficos de diagnóstico para esse modelo e que eles sejam colocados em uma mesma página:
<code>
par(mfrow=c(2,2))
plot(lm.algas.peixes)
par(mfrow=c(1,1))
</code>

**Obs.: Note que o gráfico inferior à direita é o gráfico que mostra a distância de Cook.**

**Salve essa página como.pdf e coloque o mesmo nome do arquivo de dados**



**Repita o mesmo procedimento para os outros conjuntos de dados e avalie quais premissas estão sendo atendidas ou não para cada um.**
<code>
## copie uma linha por vez:
algas.peixes2 <- read.csv("algas_peixes2.csv", sep=";")
head(algas.peixes2)
summary(algas.peixes2)
scatterplot(BIOMASSA_PEIXES_HERB2~BIOMASSA_ALGAS2, data=algas.peixes2)
lm.algas.peixes2<-lm(BIOMASSA_PEIXES_HERB2~BIOMASSA_ALGAS2, data=algas.peixes2)
summary (lm.algas.peixes2)

## copie as três linhas juntas:
par(mfrow=c(2,2))
plot (lm.algas.peixes2)
par(mfrow=c(1,1))
</code>

<code>
## copie uma linha por vez:
insetos.peixes <- read.csv("insetos_peixes.csv", sep=";")
head(insetos.peixes)
summary(insetos.peixes)
scatterplot(BIOMASSA_PEIXES_INS~BIOMASSA_INSETOS, data=insetos.peixes)
lm.insetos.peixes<-lm(BIOMASSA_PEIXES_INS~BIOMASSA_INSETOS, data=insetos.peixes)
summary(lm.insetos.peixes)

## copie as três linhas juntas:
par(mfrow=c(2,2))
plot (lm.insetos.peixes)
par(mfrow=c(1,1))
</code>

<code>
## copie uma linha por vez:
vol.inds <- read.csv("vol_inds.csv", sep=";")
head(vol.inds)
summary(vol.inds)
scatterplot(INDIVIDUOS_AUSTROL~VOLUME_LAGO, data=vol.inds)
lm.vol.inds<-lm(INDIVIDUOS_AUSTROL~VOLUME_LAGO, data=vol.inds)
summary(lm.vol.inds)

## copie as três linhas juntas:
par(mfrow=c(2,2))
plot (lm.vol.inds)
par(mfrow=c(1,1))
</code>