Coeficiente de determinação [Laboratório de Ecologia de Florestas Tropicais]

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====== Coeficiente de determinação ======

O coeficiente de determinação ($R^2$) expressa a proporção da variação de uma medida (variável resposta) que é explicada pela variação de outra (variável explanatória). Se supomos que a variação é explicada por uma relação linear, os cálculos são simples e ajudam muito a entender a lógica da partição da variação que está por trás do $R^2$. 

Neste roteiro vamos usar a regressão linear e um conjunto pequeno de dados para entender o coeficiente de determinação. 
=====Preparação para o exercício=====

Para começar, crie uma pasta para você na área de trabalho (desktop) do seu computador.
Copie para essa pasta o arquivo com os dados que vamos usar:

{{:2018:roteiros:dadinho.csv|dadinho.csv}}

Em seguida, abra o programa R, clicando no ícone {{:2015:roteiros:logor.png?nolink&30|}} que está na área de trabalho do seu computador.

Se tudo deu certo até aqui, abrirá uma janela do R como essa:

{{ :2018:roteiros:tela_inicial_r.png?nolink  }}

Já com a janela do programa R aberto, o próximo passo será mudar o diretório de trabalho para aquela pasta que você acabou de criar. Com isso será mais fácil importar os dados dos arquivos ".csv" para dentro do ambiente R. 

A mudança de diretório deve ser feita da seguinte forma:
  * Abra o Menu "Arquivo" (ou "File");
  * Selecione "Mudar dir" (ou "Change dir");
  * Escolha a sua pasta na janela que abrir.
 
//[Obs. Para Mac, essa opção está no Menu "Misc" e a opção é "Change working dir"]//


Para checar se você está na pasta correta, copie e cole o comando abaixo na linha de comando do R. Atenção: O comando deve ser colado na frente do símbolo ">", circundado em azul na imagem anterior. Este símbolo indica o início da linha de comando ou "prompt", onde você deve escrever comandos para o R. 

<code>
getwd()
</code> 

Após colar, aperte a tecla "enter" e veja se o R retorna o nome da sua pasta. Se sim, ótimo. Se não, chame um monitor ou professor.

=== Importando os dados para o R ===

Agora vamos importar para o R os dados que você gravou em seu diretório. Para isso copie o comando abaixo, cole na linha de comando do R e pressione "enter":

<code>
dadinhos <- read.csv("dadinho.csv")
</code>

Se não houve nenhuma mensagem de erro agora você tem no R uma tabela com 8 linhas e duas colunas, que explicaremos a seguir. Se quiser verificar se a tabela foi importada, digite o nome dela no R

<code>
dadinhos
</code>

===== Cálculos passo a passo =====

==== A variação total ====

Nosso ponto de partida é a variação de uma variável, no caso Y. Uma das maneiras mais usadas na estatística para expressar a variação de medidas é sua dispersão em torno da média. Para isso, calculamos a diferença de cada medida à média de todas as medidas. Vamos adicionar isto à nossa tabela de dados:

<code>
dadinhos$dif <- dadinhos$Y - mean(dadinhos$Y)
dadinhos
</code>

Visualmente o que fizemos foi calcular a distância de cada ponto à média de todos os pontos, que está representada como uma linha horizontal azul:

{{ :2018:roteiros:coef_determ1.png |}}

Para resumir estas distâncias em um único número, as elevamos ao quadrado e somamos. Isso é chamado "soma dos desvios quadrados" ou simplesmente "soma dos quadrados"((por que elevar ao quadrado os desvios à média? Bom, primeiro porque a soma dos desvios é sempre zero... Mas também porque a soma dos desvios ao quadrado tem várias propriedades estatísticas úteis, como a aditividade que vamos ver em seguida.)). Ela expressa a variação **total** da variável Y.

Calcule esta soma no R com o comando a seguir, e guarde em uma objeto chamado ''V.total''

<code>
V.total <- sum(dadinhos$dif^2)
</code>

Lembrando que para ver o valor que vc obteve e armazenou neste objeto, basta digitar o nome do objeto na linha de comando:

<code>
V.total
</code>

==== A variação que sobra da regressão ====

Uma regressão linear busca explicar a variação observada em uma variável pela variação de outra. Se a regressão é bem sucedida, esperamos que reste bem menos variação sem explicação, que chamamos de **variação residual** da regressão. Esta variação residual é a soma dos quadrados dos desvios de cada ponto à linha de regressão. 

Na figura a seguir está a linha da regressão linear de Y em função de X, e os desvios de cada observação em relação a esta reta de regressão. Os resíduos da regressão são bem menores que os desvios em relação à média, da figura anterior:


{{ :2018:roteiros:coef_determ2.png?  }}

Como chegamos a estes valores na figura? Vamos calcular passo a passo. Primeiro ajustamos a regressão:


<code>
dadinhos.lm <- lm(Y ~ X, data=dadinhos)
</code>

Os intercepto e a inclinação da equação da reta ajustada são:

<code>
(dadinhos.cf <- coef(dadinhos.lm))
</code>

E agora adicionamos os valores de Y previstos pela equação da reta para cada valor de X:

<code>
dadinhos$Y.pred <- predict(dadinhos.lm)
</code>

e também a diferença entre os valores de Y e os previstos, que são os resíduos da regressão:

<code>
dadinhos$residuo <- dadinhos$Y - dadinhos$Y.pred
</code>

Nossa tabela de dados agora tem cinco colunas:

<code>
> dadinhos
  X        Y        dif    Y.pred    residuo
1 1 1.110051 -3.0608617 0.5497765  0.5602747
2 2 2.343195 -1.8277177 1.5843869  0.7588084
3 3 2.420523 -1.7503898 2.6189973 -0.1984742
4 4 2.590459 -1.5804543 3.6536077 -1.0631491
5 5 3.617083 -0.5538302 4.6882181 -1.0711354
6 6 5.311097  1.1401837 5.7228285 -0.4117319
7 7 7.564503  3.3935902 6.7574390  0.8070641
8 8 8.410393  4.2394798 7.7920494  0.6183433
</code>


A soma dos quadrados dos resíduos expressa a variação que restou da regressão. É a variação de Y que não é explicada pela variação de X, em uma regressão linear. Para calculá-la somamos os valores da coluna dos resíduos, elevados ao quadrado:

<code>
V.resid <- sum(dadinhos$residuo^2)
</code>

E vemos que de fato esta variação residual é bem menor que a total:

<code>
V.resid
</code>

==== A variação explicada pela regressão ====

Acima calculamos a variação total de Y e a variação que resta em Y depois de considerarmos um efeito linear de X sobre Y. A soma dos quadrados,  medida que escolhemos para expressar estes componentes de variação, tem uma propriedade muito útil. Se consideramos o efeito linear de X como a única fonte de explicação para Y, podemos então dizer que:

$$V_{total} = V_{explic} + V_{resid} $$

ou seja, que a soma dos quadrados total (variação total) é o resultado da adição da soma dos quadrados explicados (pela regressão)  e da soma dos quadrados dos resíduos da regressão. Em outras palavras, estamos repartindo, ou **particionando aditivamente** a variação total de Y em dois componentes((este raciocínio pode ser generalizado para mais componentes de variação, como veremos no roteiro seguinte)). 

Como já calculamos $V_{total}$ e $V_{resid}$ obtemos a variação explicada pela regressão com:

$$V_{explic} =  V_{total} - V_{resid} $$

Que podemos calcular no R usando os valores acima, que armazenamos:


<code>
(V.expl <-  V.total - V.resid)
</code>

=== E finalmente o coeficiente de determinação! ===

Obtemos o coeficiente de determinação dividindo $V_{explic}$ por $V_{total}$:

<code>
V.expl/V.total
</code>

Neste caso dizemos que 91% da variação de Y é explicada por X. Nada mal. Mas o que você poderia esperar de dados que a gente mesmo criou, né! 8-)