Uma extensão do modelo linear simples ¹⁾ são os modelos lineares com mais de uma preditora, aqui definido como modelos múltiplos. Quando temos mais de uma preditora o modelo aumenta em complexidade com mais parâmetros para estimar. Além disso, a estrutura mais complexa do modelo gera desafios para a interpretação e dificulta a avaliação da adequação do modelo aos dados. Uma primeira complexidade está relacionada a como simplificar a estrutura do modelo com a finalidade de facilitar a interpretação e melhorar a estimação dos parâmetros. A tomada de decisão sobre quais variáveis devemos reter em nosso modelo e quais podem ser retiradas, por não terem efeito na variável resposta, pode ser feita utilizando diferentes critérios e técnicas. A seguir apresentamos uma das técnicas utilizadas para essa tomada de decisão e que iremos utilizar ao longo desse curso. Outros critérios ou técnicas podem ser utilizadas com vantagens ou desvantagens em relação ao que utilizaremos. Não é objetivo desse curso se debruçar sobre essas diferentes técnicas.

O primeiro exemplo que iremos trabalhar é baseado nos dados utilizados para exemplificar o teste de Anova. Vamos criar um experimento plausível a partir dele.

Vimos que existe um efeito do tipo de solo na produção de um cultivar. Uma expectativa plausível é que a adição de adubo também tenha efeito na produtividade. Ou seja, os tipos de solo tem produtividade diferente, assim como o adubo aumenta a produtividade.

Nos dados originais do exercício de ANOVA a produtividade média nos solos foi de:

• arenoso: 9.9
• argiloso: 11.5
• humico: 14.3

Vamos, a partir dessa informação, criar um experimento onde, além da diferença do solo, metade dos cultivos foram tratados com adubo orgânico.

• 1. Abra o arquivo cropMulti em uma planilha eletrônica:

• 2. Preencha a coluna efeitoAdubo com o valor de 1.2 para todas as parcelas adubadas ²⁾ e 0 para aquelas que não foram ³⁾.
• 3. Preencha a célula E2 da coluna desvios normal com a fórmula = INV.NORM.N(ALEATÓRIO(); 0 ; 1.5)⁴⁾.
• 4. Some os valores em uma mesma linha

Ao final sua planilha deve estar preenchida como a que segue, apenas com os valores da coluna resíduo diferentes:

O nosso modelo tem duas preditoras e pode ser simplificado. Nesse caso, como temos poucas possibilidades de comparação, podemos comparar os modelos plausíveis, desde que sejam aninhados. O que produzimos acima tem o efeito de solo e de adubo, podemos pensar em mais algumas possibilidades de modelo:

• mlSolo só com o efeito do solo:

prodCampo ~ solo

• mlAdubo só com efeito do adubo:

prodCampo ~ adubo

• mlNull sem efeito de solo ou adubo:

prodCampo ~ 1

O valor 1 na última formula indica que o modelo não tem nenhuma variável preditora ⁵⁾

Nos modelos acima, desconsideramos um elemento importante que emerge quanto temos mais de uma preditora, a possibilidade de uma variável preditora interferir no efeito de outra, efeito esse chamado de interação. A interação é um elemento muito importante quando temos mais de uma preditora, pois desconsiderá-la pode limitar o entendimento dos processos envolvidos. Um exemplo cotidiano da interação é visto no uso de medicamentos e o alerta da bula sobre interação medicamentosa ou efeitos colaterais para pessoas portadoras de doenças crônicas. Dizemos que um medicamento tem interação com outra substância quando o seu efeito é modificado pela presença de outra substância, como por exemplo a ingestão de álcool junto com muitos medicamentos. Nos modelos a interação tem uma interpretação similar, a resposta pelo efeito de uma variável preditora se altera com a presença de outra preditora. Muitas vezes a interação pode ser o efeito de interesse do estudo, como na pergunta: O efeito de solo na produtividade agrícola depende da quantidade de adubo orgânico adicionado? Ou em outras palavras: O efeito da adubação orgânica depende do tipo de solo? Note que nestas perguntas o foco não é se há ou não efeito do adubo ou solo, mas se a presença de uma variável afeta o efeito de outra.

Não é esperado encontrar interação entre as preditoras nos dados simulados da maneira como fizemos, ele pode emergir por acaso, apenas porque temos uma variável aleatória ⁶⁾. Da maneira como simulamos os dados temos duas preditoras que tem efeitos aditivos onde não há interação. Uma outra forma de dizer isso é que o efeito do adubo não interfere no efeito do solo, ou que esses efeitos são independentes. A interpretação biológica nesse caso também pode ser feita independentemente.

Seguindo a mesma abordagem anterior, vamos produzir dados simulando a interação entre as variáveis solo e adubo. Para isso precisamos produzir dados em que o efeito do adubo depende do tipo de solo.

1. Abra o arquivo cropMulti em uma planilha eletrônica:

1. Preencha a coluna efeitoAdubo com os valores:
   • 2.7 para arenoso com adubo igual a sim
   • 0.7 para argiloso com adubo igual a sim
   • 0.2 para humico com adubo igual a sim
2. O campos da coluna efeitoAdubo onde adubo é igual a não devem ser preenchidos com 0
3. Preencha a célula E2 da coluna desvios normal com a fórmula = INV.NORM.N(ALEATÓRIO(); 0 ; 1.5)⁷⁾, as atuais utilizam a mesma que o excel.
4. Some na coluna prodCampo os valores prodSolo + efeitoAdubo + desviosNormal

Ao final sua planilha deve estar preenchida como a que segue, apenas com os valores da coluna resíduo diferentes:

Durante o curso usaremos o procedimento de simplificar o modelo a partir do modelo cheio. O procedimento consiste em comparar modelos aninhados⁸⁾, dois a dois, retendo o que está mais acoplado aos dados. Para comparar os modelos utilizaremos o procedimento da partição da variância baseado na tabela de anova. Quando os modelo comparados são diferentes retemos o mais complexo, pois explica mais variação dos dados ⁹⁾. Por outro lado, quando os modelos não são diferentes no seu poder explicativo, retemos o modelo mais simples, apoiados no princípio da parcimônia. Para tomar a decisão se os modelos são iguais ou diferentes utilizamos a estatística F da tabela de anova.

Nesse último tópico do bloco vamos resgatar os principais conceitos que emergiram com a generalização do modelo linear, agora com múltiplas preditoras, a partir de um exemplo com mais variáveis preditoras contínuas e categóricas.

Além da interação entre as preditoras, tratada no exemplo anterior, a inclusão de múltiplas preditoras eleva a complexidade do modelo e dificulta sua interpretação. Por exemplo, um modelo com três variáveis preditoras pode potencialmente ter quatro termos de interação¹⁴⁾, além dos termos dos efeitos isolados. Com quatro preditoras já são 11 potenciais termos de interações possíveis. Além do número elevado de termos possíveis, as interações de níveis mais elevados são difíceis de interpretar. Essa é uma das razões para buscarmos a simplificação dos modelos antes de interpretá-los. Um outro ponto importante é nunca incluir termos no modelo que não temos capacidade para interpretar, a menos que seu modelo seja apenas preditivo. Para modelos que se propõem apenas a fazer predições, um termo complexo não impede sua aplicação. Entretanto, se a proposta do modelo é entender os efeitos causais e os processos subjacentes, um termo complexo, que não pode ser interpretado, inviabiliza o modelo. Nesses casos, é importante apenas incluir termos no modelo que são passíveis de serem interpretados.

Uma outra questão que emerge dos modelos com múltiplas preditoras contínuas é a multicolinearidade. Quando duas variável preditoras apresentam muita sobreposição de variação explicada, ou seja, ambas explicam a mesma porção considerável da variação na resposta, o modelo pode ter problemas na estimativa dos coeficientes. Além disso, modelos diferentes podem ser selecionados na busca do mínimo adequado, dependendo da ordem em que os termos são retirados ou incluídos. Variáveis com muito correlação entre elas tem grande potencial de apresentar multicolinearidade no modelo. Uma boa abordagem para quem está iniciando na modelagem estatística é investigar a correlação entre as preditoras e, caso a correlação seja muito forte, ficar atento com as estimativas do coeficientes e com a ordem de retirada dos termos do modelo ao buscar o modelo mínimo adequado. Se possível, descartar uma das preditoras colineares é uma das estratégias, já que ambas estão explicando a mesma porção da variação e são em grande parte redundantes.

Caso tenha interesse sobre outra técnica de diagnóstico de colinearidade, consulte o roteiro Modelos Lineares Múltiplos III.

O objetivo dessa pesquisa foi saber quais fatores afetam o tamanho de bebês ao nascer, de modo que fosse possível orientar campanhas de conscientização para evitar o nascimento de bebês com baixo peso, uma vez que isso pode implicar em muitos riscos ao bebê maiores custos devido à permanência no hospital. As variáveis preditoras consideradas para essa pesquisa estão listadas abaixo, mas também havia um interesse genuíno em saber se o efeito de uma variável poderia interferir no efeito das outras.

A descrição destes dados pode ser consultada em https://www.stat.berkeley.edu/users/statlabs/labs.html#babies.

Notem que as preditoras estão relacionadas a características da mãe: dias de gestação, idade, peso, altura e se ela é fumante ou não. Como a variável resposta, peso do bebê ao nascer, foi medida em onças, vamos transformar em uma escala de medida que temos mais facilidade para interpretar, multiplicando essa variável por 0.02835 para transformar em kg. Vamos fazer o mesmo para o peso da mãe que foi medido em libras e deve ser multiplicada por 0.453592 para ser transformada em kg.

Agora que temos uma variável que caracteriza o tamanho do bebê ao nascer em uma escala que faz mais sentido (kg), vamos começar a nossa avaliação de quais características da mãe tornam os bebês mais susceptíveis a nascerem com pesos baixo.

Um procedimento de modelagem ineficiente é colocar todas as variáveis preditoras e suas interações e torcer para ter alguma resultado interessante. No caso do peso dos bebês, que é razoavelmente simples com quatro variáveis preditoras sendo uma delas categórica, o modelo resultante é bastantes complexo. Vamos construir esse modelo e verificar o resultado:

 bebeKg ~ age * gestation * maeKg * smoke

Um modelo como o construído acima tem muitos problemas. Nesse caso, foram estimados 16 coeficientes um para cada termo do modelo. Note também que nenhum dos coeficientes estimados é significativo nos testes marginais, ou seja, as incertezas nas estimativas dos coeficientes não nos permite afirmar que nenhum deles seja diferente de zero. Portanto, temos um modelo estatístico complexo, com 16 termos, sendo que todos os termos são multiplicados por coeficientes não distintos de zero!

Vamos agora comparar esse modelo cheio com o modelo sem nenhuma preditora.

Nosso modelo lmFull, apesar de não ter nenhum termo com coeficientes significativamente diferentes de zero, explica uma porção razoável e “significativa” da variação dos dados. Por volta de 25% da variação dos dados é explicada pelo modelo, por outro lado, não temos nenhum termo do modelo que valha a pena interpretar. Um poder de predição razoável mas com nenhum poder de interpretação dos processos subjacentes.

Faça uma tentativa de interpretar o que o termo mais complexo deste modelo, a interação que aparece na última linha dos coeficientes estimados, está informando:

age:gestation:maeKg:smoke[T.TRUE]

O que significa uma interação entre as características da mãe: idade, dias de gestação, altura e que é fumante? Normalmente, conseguimos interpretar interações de segundo nível (levando em conta duas variáveis), algumas poucas vezes há sentido em interpretar a interação de três preditoras. Então o primeiro passo é retirar qualquer termo de interação de ordem mais alta.

Para modelos com várias variáveis preditoras é sempre complicado definir quais interações devem ser contempladas. E como vimos acima, a estimativa e a interpretação dos coeficientes do modelo ficam comprometidos. Se a intenção do modelo é entender os processos causais da variação na variável resposta, é importante iniciarmos a seleção do modelo mínimo adequado com um modelo cheio que contemple apenas os termos que são importantes para o processo em questão.

Depois de definir quais são os termos que queremos incluir no nosso modelo (variáveis simples e interações), podemos iniciar o procedimento de modelagem seguindo algum protocolo para chegar ao modelo mínimo adequado. No nosso caso, iremos partir do modelo cheio, simplificar até o mínimo adequado. Como não temos experiência prévia do sistema e não temos “muita” experiência sobre tamanhos de bebês ao nascer, “consultamos vários especialistas na área” e eles chegaram à conclusão que os termos que deveriam ser contemplados são:

bebeKg ~ gestation + age + maeKg + smoke + gestation:age + gestation:smoke + age:maeKg + age:smoke + maeKg:smoke + gestation:age:smoke

 bebeKg ~ gestation + age + maeKg + smoke + 
            gestation:age + gestation:smoke +  
            age:maeKg + age:smoke + maeKg:smoke + 
            gestation:age:smoke

Um “outro especialista”, ao analisar o modelo mínimo adequado selecionado acima, afirmou que a variável height deveria ser incluida para controlar o peso do bebê ser maior apenas porque a mãe era grande. Além disso, sugeriu incluir uma nova variável que indicasse a quanto a mãe tem de sobrepeso ou subpeso antes de engravidar. Indicou ainda que uma forma de criar essa variável seria utilizar os resíduos de uma regressão simples da variável peso como resposta e a variável altura como preditora. Todos os “outros especialistas” concordaram que eram uma boa sugestão, já que essa nova variável representa o quanto a mãe tem mais peso ou menos peso do que esperado para uma mãe com a mesma altura.