Laboratório de Ecologia de Florestas Tropicais

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====== 2. Funções Matemáticas e Estatísticas ====== 

===== O R como uma Calculadora Fora do Comum =====


==== Operações Aritméticas Básicas ====

A linha de comando do R funciona como uma calculadora.  Todas operações aritméticas
e funções matemáticas principais estão disponíveis. Exemplo:

<code>
> 4 + 9
[1] 13
> 4 - 5
[1] -1
> 4 * 5
[1] 20
> 4 / 5
[1] 0.8
> 4^5
[1] 1024
>
</code>

A notação básica de operações algébricas, como a aplicação hierárquica de parênteses,
também pode ser utilizada:
<code>
> (4 + 5 ) * 7 - (36/18)^3
[1] 55
> (2 * ( 2 * ( 2 * (3-4))))
[1] -8
>
</code>

Note que somente os parênteses podem ser utilizados nas expressões matemáticas.  As chaves ("{}") e os colchetes ("[]") têm outras funções no R:
<code>
> (2 * { 2 * [ 2 * (3-4)]})
Error: syntax error in "(2 * { 2 * ["
>
</code>

Por que o R é uma calculadora **fora do comum** ?  Experimente fazer a seguinte operação matemática na sua calculadora:
<code>
> 1 - (1 + 10^(-15))
</code>


==== Funções Matemáticas Comuns ====

As funções matemáticas comuns também estão disponíveis e podem ser aplicadas diretamente na linha de comando:
<code>
> sqrt(9)   # Raiz Quadrada
[1] 3
> abs( - 1 )  # Módulo ou valor absoluto
[1] 1
> abs( 1 )
[1] 1
> log( 10 )   # Logaritmo natural ou neperiano
[1] 2.302585
> log( 10, base = 10) # Logaritmo base 10
[1] 1
> log10(10)   # Também logaritmo de base 10
[1] 1
> log( 10, base = 3.4076) # Logaritmo base 3.4076
[1] 1.878116
> exp( 1 )       # Exponencial
[1] 2.718282
>
</code>

As funções trigonométricas:
<code>
> sin(0.5*pi)    # Seno
[1] 1
> cos(2*pi)      # Coseno
[1] 1
> tan(pi)        # Tangente
[1] -1.224647e-16
>
> asin(1)       # Arco seno (em radianos)
[1] 1.570796
> asin(1) / pi * 180
[1] 90
>
> acos(0)      # Arco coseno (em radianos)
[1] 1.570796
> acos(0) / pi * 180
[1] 90
> atan(0)    # Arco tangente (em radianos)
[1] 0
> atan(0) / pi * 180
[1] 0
>
</code>

Funções para arredondamento:
<code>
> ceiling( 4.3478 )
[1] 5
> floor( 4.3478 )
[1] 4
> round( 4.3478 )
[1] 4
> round( 4.3478 , digits=3)
[1] 4.348
> round( 4.3478 , digits=2)
[1] 4.35
>
</code>


Funções matemáticas de especial interesse estatístico:
<code>
> factorial( 4 )         # Fatorial de 4
[1] 24
> choose(10, 3)          # Coeficientes binomiais: combinação de 10 3-a-3
[1] 120
>  
</code>



==== Criando Variáveis com Atribuição====

Mais do que simples operações aritméticas,  o R permite que executemos operações **algébricas** operando sobre variáveis pré-definidas.

Para definir uma variável, basta escolher um nome (//lembre-se das regras de nomes no R//) e atribuir a ela um valor:
<code>
>
> a = 3.6
> b = sqrt( 35 )
> c = -2.1
> a
[1] 3.6
> b
[1] 5.91608
> c
[1] -2.1
>
> a * b / c
[1] -10.14185
> b^c
[1] 0.02391820
> a + exp(c) - log(b)
[1] 1.944782
>  
> a - b * c / d
Error: object "d" not found
>          
</code>

Não esqueça de definir as variáveis previamente!!


=== Exercícios ===

<box left red 80% | **Exercício 2.1. //Estimador de Pollard//**>

Pollard (1971) propôs o seguinte estimador para estimar a densidade no método de
quadrantes:

$$\hat{N} = \frac{4(4n-1)}{\pi \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^4 r_{ij}^2} $$ 

onde, $r_{ij}$ é a distância de árvore do quadrante $j$ no 
ponto $i$ ao centro do ponto quadrante e $n$ é o número de pontos quadrantes.

A variância desse estimador é:

$$Var(\hat{N_p}) = \frac{\hat{N_p}}{4n-2}$$

Imagine que foram amostrados 30 quadrantes, e que o valor da soma do quadrado das distâncias de cada árvore ao centro de seu quadrante foi de:

$$\sum_{i=1}^{30} \sum_{j=1}^4 r_{ij}^2 = 2531,794$$


  - Qual a densidade estimada? 
  - Qual a variância?

</box>


<box left red 80% | **Exercício 2.2. //Área transversal de uma Árvore//** >

A área transversal de uma árvore é calculada assumindo que a secção transversal
do tronco à altura do peito (1,3m) é perfeitamente circular.
Se o diâmetro à altura do peito (DAP) de uma árvore for 13.5cm, qual
a área transversal?

Se uma árvore possui três fustes com DAPs de: 7cm, 9cm e 12cm, qual
a sua área transversal?

</box>


<box left red 80% | **Exercício 2.3. //Área transversal de uma Árvore (Revisitado)//** >

Se uma árvore possui três fustes com DAPs de: 7cm, 9cm e 12cm, qual
o diâmetro (único) que é equivalente à sua área transversal?

</box>


<box left red 80% | **Exercício 2.4. //Cálculo da Biomassa de Árvores do Cerrado//**>

O modelo alométrico de biomassa ajustado para árvores do Cerradão
estabele que a biomassa é dada pela expressão:

$$\hat{b} = e^{-1,7953} d^{2.2974}$$

onde ''b'' é a biomassa em //kg// e
''d'' é o DAP em //cm//.

Já um outro modelo para biomassa das árvores na 
mesma situação tem a forma:

$$\hat{ln(b)} = -2.6464 + 1,996ln(d) + 0,7558ln(h)$$


onde ''h'' é a altura das árvores em //m//.

Para uma árvore com DAP de 15//cm// e altura de 12//m//, os
modelos resultarão em estimativas muito distintas?

</box>



==== Mantendo a Coerência Lógica-Matemática ====


O R também lida com operações matemáticas que envolvem **elementos infinitos** e **elementos indeterminados**:

  > 1/0
  [1] Inf
  > -5/0
  [1] -Inf
  > 500000000000000000/Inf
  [1] 0
  > 0/0
  [1] NaN
  > Inf/Inf
  [1] NaN
  > log(0)
  [1] -Inf
  > exp(-Inf)
  [1] 0
  > sqrt(Inf)
  [1] Inf
  > sqrt( - 1 )
  [1] NaN
  Warning message:
  NaNs produced in: sqrt(-1)
  > 2 * NA
  [1] NA
  > 2 * NaN
  [1] NaN
  > NA / 10
  [1] NA
  > NaN / -1
  [1] NaN
  >

Note que determinadas **palavras** (além do nome das funções) estão reservadas no R, pois são utilizadas com significado especial:
  * ''pi'' - constante < pi = 3.141593 ;
  * ''Inf'' - infinito;
  * ''NaN'' - indeterminado (Not a Number), normalmente resultado de uma operação matemática indeterminada;
  * ''NA'' - indeterminado (Not Available), normalmente caracterizando uma observação perdida (//missing value//).


Na operações matemáticas, ''NaN'' e ''NA'' atuam sempre como **indeterminado**.



<box left red 80% | //**2.5. Exercício Conceitual:** Criando Variáveis com Nomes Reservados// >

O que acontece se você criar uma variável com o nome ''pi''?  Por exemplo, 
<code>
> pi = 10
</code>
O que acontece com a constante //pi//?

E se for criada uma constante de nome ''sqrt''?  O que acontece com a função raíz quadrada (''sqrt()'')?

**DICA:** O que faz a função ''search'', no comando:
<code>
> search()
</code>
</box>



=== Exercícios ===

<box left red 80%| //**2.6. Exercício Conceitual:** O que é uma Observação Perdida//>

Como se caracteriza uma **observação perdida**?

Quando o diâmetro de uma árvore deve ter o valor **zero** ou o valor **NA**?

E o peso de um animal?  E a biomassa de uma floresta?  E a espécie de uma ave?

</box>










===== O R como uma Calculadora Vetorial =====











==== Criação de Vetores ====


O R, e a linguagem S, foram criados para operar não apenas //número-a-número// como uma calculadora convencional.

O R é um ambiente **vetorial**,  isto é, quase todas suas operações atuam sobre um //conjunto de valores//, 
que genericamente chamaremos de vetores((No R, "vetores" são uma classe de objetos definida simplesmente como conjuntos de elementos de um mesmo tipo. Os vetores do R não correspondem a vetores de valores da álgebra matricial, para os quais há outra classe de objetos, que é "matrix")).

Uma definição mais detalhada dos vetores está [[04-dados#Vetores|na seção sobre manipulação de dados]]. Aqui fornecemos apenas algumas definições e funções importantes para compreender as operações numéricas com vetores.


=== Concatenação de Elementos em um Vetor: a Função "c" ===

Para criar um vetor, podemos usar a função ''c'' (c = colar, concatenar).  Essa função simplesmente junta todos
os argumentos dados a ela, formando um vetor:
<code>
> a = c(1, 10, 3.4, pi, pi/4, exp(-1), log( 2.23 ), sin(pi/7) )
> a
[1]  1.0000000 10.0000000  3.4000000  3.1415927  0.7853982  0.3678794  0.8020016  0.4338837
> 
</code>

=== Criação de Sequências: Operador ":" e Função "seq" ===

Para criar vetores de números com intervalo fixo unitário (intervalo de 1) se utiliza o //operador seqüencial// ('':''):
<code>
> b = 1:8
> b
[1] 1 2 3 4 5 6 7 8
> c = 20:32
> c
 [1] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
> d = 2.5:10
> d
[1] 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5
</code>

Uma forma mais flexível de criar seqüências de números (inteiros ou reais) é usando a função '''seq''':
<code>
> seq(10, 30)
 [1] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
> seq(10, 30, by=2)
 [1] 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
> seq(1.5, 7.9, length=20)
 [1] 1.500000 1.836842 2.173684 2.510526 2.847368 3.184211 3.521053 3.857895
 [9] 4.194737 4.531579 4.868421 5.205263 5.542105 5.878947 6.215789 6.552632
[17] 6.889474 7.226316 7.563158 7.900000
</code>

=== Vetores de Valores Repetidos: Função "rep" ===

Também é fácil criar uma seqüência de números repetidos utilizando a função '''rep''':
<code>
> rep(5, 3)
[1] 5 5 5
> rep(1:5, 3)
 [1] 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
> rep(1:5,each=3)
 [1] 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5
>
</code>


=== Exercícios ===

<box left red | //**Exercício 2.7.** Palmeira com Muitos Fustes I//>

Uma palmeira perfilhada possui 10 fustes com os seguintes diâmetros: 5, 6, 7, 5, 10, 11, 6, 8, 9 e 7.

Crie um vetor '''dap''' com os diâmetros acimas e uma seqüência que enumera os fustes.

</box>












==== Vetores: Operações Matemáticas  ====

Todas operações matemáticas aplicadas sobre um vetor, serão aplicadas sobre cada elemento desse vetor:
<code>
> 2 * a
[1]  2.0000000 20.0000000  6.8000000  6.2831853  1.5707963  0.7357589  1.6040032
[8]  0.8677675
> sqrt( a )
[1] 1.0000000 3.1622777 1.8439089 1.7724539 0.8862269 0.6065307 0.8955454
[8] 0.6586985
>
> log( a )
[1]  0.0000000  2.3025851  1.2237754  1.1447299 -0.2415645 -1.0000000 -0.2206447
[8] -0.8349787
>             
</code>

Se as variáveis que trabalhamos são vetores, operações matemáticas entre variáveis serão realizadas
pareando os elementos dos vetores:
<code>
> a* b
[1]  1.000000 20.000000 10.200000 12.566371  3.926991  2.207277  5.614011
[8]  3.471070
> a - b
[1]  0.0000000  8.0000000  0.4000000 -0.8584073 -4.2146018 -5.6321206 -6.1979984
[8] -7.5661163
> a^(1/b)
[1] 1.0000000 3.1622777 1.5036946 1.3313354 0.9528356 0.8464817 0.9689709
[8] 0.9008898
>  
> sqrt( a )
[1] 1.0000000 3.1622777 1.8439089 1.7724539 0.8862269 0.6065307 0.8955454
[8] 0.6586985
> log( b )
[1] 0.0000000 0.6931472 1.0986123 1.3862944 1.6094379 1.7917595 1.9459101
[8] 2.0794415
>             
</code>

=== Comprimento de Vetores e a Função "length" ===

A função ''length'' retorna o número de elementos de um objeto:
<code>
> a <- seq(from=0, to=10, by=2)
> a
[1]  0  2  4  6  8 10
> length(a)
[1] 6
> length(1:20)
[1] 20
> length(rep(1:10,each=10))
[1] 100
>                    
</code>

=== A Regra da Ciclagem ===

O comprimento é muito importante para as operações vetoriais, pois o R permite operações entre dois vetores de comprimentos diferentes, com a seguinte regra:

<box red |**Ciclagem de Valores**> Operações entre vetores de comprimentos diferentes são realizadas pareando-se seus elementos. Os elementos do vetor mais curto são repetidos sequencialmente até que a operação seja aplicada a todos os elementos do vetor mais longo</box>

Quando o comprimento do vetor maior não é múltiplo do comprimento do maior, o R retorna o resultado e um aviso: 

<code>
> b
 [1] 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
> c
[1] 1 2 3
> c*b
 [1] 0 0 0 0 0 3 1 2 3 1
Warning message:
In c * b : longer object length is not a multiple of shorter object length
> length(b)
[1] 10
> length(c)
[1] 3
>                            
</code>

Mas se o comprimento do vetor maior é um múltiplo do maior, o R retorna apenas o resultado, sem nenhum alerta:

<code>
> a
[1] 1 2
> b
 [1] 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
> a*b
 [1] 0 0 0 0 0 2 1 2 1 2
> length(b)/length(a)
[1] 5
>
</code>

Portanto **muito cuidado com as operações entre vetores de diferentes comprimentos**. A regra da ciclagem é um recurso poderoso da linguagem R ((A vantagem mais óbvia da regra da ciclagem é a possibilidade de multiplicação de um vetor por um valor único. Você compreende por que?)), mas se você não tiver clareza do que deseja fazer, pode obter resultados indesejados.

=== Exercícios ===

<box left red | //**Exercício 2.8. ** Palmeira com Muitos Fustes II//>

Uma palmeira perfilhada possui 10 fustes com os seguintes diâmetros: 5, 6, 7, 5, 10, 11, 6, 8, 9 e 7.

  - Calcule a área transversal de cada fuste dessa palmeira. Guarde este resultado em novo objeto.
  - Calcule a média das áreas transversais, sem usar a função ''mean''.
  - Calcule a variância das áreas transversais, sem usar a função ''var''

</box>



<box left red | //**Exercício 2.9.** Bits e Bytes//>

Como construir uma seqüência que representa o aumento do número
de bits por byte de computador, quando se dobra o tamanho dos bytes?

Essa seqüência numérica parte do 2 e dobra os valores a cada passo.

</box>














==== Vetores: Operações Estatísticas  ====

As funções matemáticas sobre vetores operam //elemento-a-elemento//.  Já as funções estatísticas operam no vetor **como um todo**:
<code>
> mean( a )
[1] 2.491344
> var( b )
[1] 6
> max( c )
[1] 32
> sd( a )
[1] 3.259248
> sum( c )
[1] 338
> min( b )
[1] 1
> range( c )
[1] 20 32
>      
</code>

Algumas funções úteis que não são estatísticas, mas operam no vetor são:
<code>
> a
[1]  1.0000000 10.0000000  3.4000000  3.1415927  0.7853982  0.3678794  0.8020016
[8]  0.4338837
> sort(a)
[1]  0.3678794  0.4338837  0.7853982  0.8020016  1.0000000  3.1415927  3.4000000
[8] 10.0000000
> rev(sort(a))
[1] 10.0000000  3.4000000  3.1415927  1.0000000  0.8020016  0.7853982  0.4338837
[8]  0.3678794
> cumsum(sort(a))
[1]  0.3678794  0.8017632  1.5871613  2.3891629  3.3891629  6.5307556  9.9307556
[8] 19.9307556
> cumsum(a)
[1]  1.00000 11.00000 14.40000 17.54159 18.32699 18.69487 19.49687 19.93076
> diff(a)
[1]  9.0000000 -6.6000000 -0.2584073 -2.3561945 -0.4175187  0.4341221 -0.3681178
> diff( seq(10, 34, length=15) )
 [1] 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286
 [9] 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286
> 
</code>


=== Exercícios ===

<box left red 100% | //**Exercício 2.10.** Conta de Luz//>

As leituras mensais do medidor de consumo de eletricidade de uma casa foram:
^Jan^Fev^Mar^Abr^Mai^Jun^Jul^Ago^Set^Out^Nov^Dez^
|9839|10149|10486|10746|11264|11684|12082|12599|13004|13350|13717|14052|

  - Calcule o consumo de cada mês neste período.
  - Qual foi o máximo e mínimo de consumo mensal?
  - Qual a média, mediana e variância dos consumos mensais?


</box>

===== As Funções no R  =====

Já foi visto que ao se digitar o nome de uma função na linha de comando, o R retorna o **código** da função. Veja a diferença de:
<code>
> ls()
</code>
para:
<code>
> ls
</code>


A maioria das funções precisa de certas **informações** para orientar o seu procedimento, tais informações são chamados de **argumentos**.  

Os argumentos de qualquer função são detalhadamente explicados nas páginas de ajuda sobre a função.  Mas para uma rápida consulta dos argumentos de uma função podemos usar a função '''args''':
<code>
> args(ls)
function (name, pos = -1, envir = as.environment(pos), all.names = FALSE,
    pattern)
NULL
> args(q)
function (save = "default", status = 0, runLast = TRUE)
NULL
> args(save.image)
function (file = ".RData", version = NULL, ascii = FALSE, compress = !ascii,
    safe = TRUE)
NULL
>    
</code> 

Algumas funções, entretanto, são primitivas ou internas e seus argumentos não são apresentados.  Geralmente, nesses casos os argumentos  são bastante óbvios:
<code>
> args(sin)
NULL
> sin
.Primitive("sin")
>
</code>

Outras funções simplesmente não possuem argumentos:
<code>
> args(getwd)
function ()
NULL
> getwd
function ()
.Internal(getwd())
<environment: namespace:base>
>                                
</code>


Ao observar o resultado da função '''args''', você notará que alguns argumentos são seguidos de uma expressão que se inicia com o sinal de igualdade ('''=''').  A expressão após o sinal de igualdade é chamada de **valor default** do argumento.   Se o usuário não informar o valor para um dado argumento, a função usa o valor default.  Como exemplo veja a função '''save.image''':
<code>
> args(save.image)
function (file = ".RData", version = NULL, ascii = FALSE, compress = !ascii,
    safe = TRUE)
NULL
> 
</code>

Se o usuário simplesmente evocar a função '''save.image()''', sem informar o nome do arquivo onde a área de trabalho deve ser gravada, o R gravará as informações num arquivo com nome '''.RData'''.



=== Exercícios ===

<box left red 100% | //**Exercício 2.11.** Argumentos de Funções Estatísticas //>
Quais são os argumentos (e seus valores default) das seguintes funções:
  * **mean**
  * **sd**
  * **range**
  * **cumsum**
</box>


<box left red  100% | //**Exercício 2.12.** Argumentos de Funções de Uso Comum //>
Quais são os argumentos (e seus valores default) das funções:
  * **sort**
  * **log**
  * **seq**

O que é o argumento **". . ."**?
</box>


===== Distribuições Estatísticas: Funções no R =====


Sendo um ambiente para análise de dados, o R dispõe de um grande conjunto de funções para trabalhar com //Distribuições Estatísticas//.  Essas funções ajudam não só na análise de dados, como também permitem a //simulação// de dados.




==== Distribuição Normal ====

A distribuição Normal é a distribuição central da teoria estatística. Para gerar uma amostra de observações de uma distribuição normal utilizamos a função '''rnorm''':
<code>
> args( rnorm )
function (n, mean = 0, sd = 1)
NULL
> vn1 = rnorm( 1000, mean = 40,  sd = 9 )
> mean( vn1 )
[1] 39.47248
> sd( vn1 )
[1] 8.523735
> range( vn1 )
[1] 14.93126 62.11959
>
> vn2 = rnorm( 100000, mean = 40,  sd = 9 )
> mean( vn2 )
[1] 40.02547
> sd( vn2 )
[1] 9.025218
> range( vn2 )
[1]  3.40680 78.25496
>     
</code>

Se quisermos saber a //probabilidade acumulada// até um certo valor de uma variável com distribuição normal utilizamos a função '''pnorm''':
<code>
> args(pnorm )
function (q, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
NULL
>
> pnorm( 1.96, mean = 0 , sd = 1 )
[1] 0.9750021
> pnorm( 1.96 )
[1] 0.9750021
>
> pnorm( 27, mean = 20, sd = 7 )
[1] 0.8413447
> pnorm( 13, mean = 20, sd = 7 )
[1] 0.1586553
> 
</code>


Se quisermos obter o valor de um //quantil// da distribuição normal utilizamos a função '''qnorm''':
<code>
> args( qnorm )
function (p, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
NULL
> qnorm( 0.90 )
[1] 1.281552
> qnorm( 0.30 )
[1] -0.5244005
>
> qnorm( 0.90, 20, 7)
[1] 28.97086
> qnorm( 0.30, 20, 7)
[1] 16.32920
>  
</code>

A função '''dnorm''' fornece a //densidade probabilística// para cada valor de uma variável Normal:
<code>
> args( dnorm )
function (x, mean = 0, sd = 1, log = FALSE)
NULL
> x = seq(-4, 4, length=10000)             # Seqüência de -4 a 4 com 10.000 valores
>
> plot(x, dnorm(x))                        # Curva da Dist. Normal com média 0 e desvio padrão 1
> points(x, dnorm(x, sd=2))                # Curva da Dist. Normal com média 0 e desvio padrão 2 (adicionada ao gráfico)
>
</code>



=== Exercícios ===

<box left red  100% | //**Exercício 2.13** Amplitude Normal//>

Tomando uma variável que segue a Distribuição Normal, o que acontence com a //amplitude de variação// dos dados à medida que o tamanho da amostra cresce (por exemplo n= 100, 1000, 10000)?

**Dica:** use as funções ''range'' e ''diff''

</box>


<box left red  100% | //**Exercício 2.14.** Intervalo Normal I //>
Qual o intervalo da Distribuição Normal Padronizada que têm a média no centro e contem 50% das observações?

</box>

<box left red  100% | //**Exercício 2.15.** Intervalo Normal II //>
Qual a probabilidade de uma observação da variável Normal Padronizada estar no intervalo [-1.96 , 1.96]?

</box>










==== As Funções que Operam em Distribuições Estatísticas ====

O que foi apresentado para Distribuição Normal pode ser generalizado para todas as distribuições que o R trabalha.

Há quatro funções para se trabalhar com distribuições estatísticas:
  * **d**//distrib// - retorna a //densidade probabilística// para um dado valor da variável;
  * **p**//distrib// - retorna a //probabilidade acumulada// para um dado valor da variável;
  * **q**//distrib// - retorna o //quantil// para um dado valor de probabilidade acumulada;
  * **r**//distrib// - retorna //valores// (números aleatórios) gerados a partir da distribuição;

No caso da Distribuição Normal: //distrib// = ''norm''.  Para outras distribuições temos:

<box 70% orange centered | **DISTRIBUIÇÕES ESTATÍSTICAS NO R**>
^ Distribuição ^ Nome no R ^ Parâmetros((os argumentos de cada função incluem estes parâmetros, entre outras coisas)) ^
| beta 	       | beta      | shape1, shape2, ncp |
| binomial     | binom     | size, prob |
| Cauchy       | cauchy    | location, scale |
| qui-quadrado | chisq     | df, ncp |
| exponential  | exp       | rate |
| F            | f         | df1, df2, ncp |
| gamma        | gamma     | shape, scale |
| geométrica   | geom      | prob |
| hypergeométrica | hyper  | m, n, k |
| log-normal   | lnorm     | meanlog, sdlog |
| logística    | logis     | location, scale |
| binomial negativa | nbinom     | size, prob |
| normal       | norm      | mean, sd |
| Poisson      | pois      | lambda |
| t de Student | t         | df, ncp |
| uniforme     | unif      | min, max |
| Weibull      | weibull   | shape, scale |
| Wilcoxon     | wilcox    | m, n  |
</box>


=== Exercícios ===

<box left red  100% | //**Exercício 2.16.** Teste t //>
Você realizou um teste //t// de Student bilateral e obteve o valor //t = 2.2// com 19 graus de liberdade.  

O teste é significativo ao nível de probabilidade de 5%?   E se o valor observado fosse //t = 1.9//?

</box>


<box left red  100% | //**Exercício 2.17.** Teste F //>
Você realizou um teste //F// e obteve o valor //F = 2.2// com 19 graus de liberdade no numerador e 24 graus de liberdade no denominador.  

O teste é significativo ao nível de probabilidade de 5%?   E se o valor observado fosse //F = 2.5//?

</box>


<box left red  100% | //**Exercício 2.18.** Padrão Espacial I //>
Gere duas amostras (p.ex.: //x// e //y//) de tamanho 1000 (n=1000) de números da distribuição Uniforme.

Faça um gráfico plotando uma amostra contra a outra (''plot(x,y)'').  Qual o padrão espacial observado?

Você consegue explicá-lo?

</box>


<box left red  100% | //**Exercício 2.19.** Padrão Espacial II //>
Gere duas amostras (p.ex.: //xp// e //yp//) de tamanho 10 (n=10) de números da distribuição Uniforme, com valor mínimo de zero e máximo de 100.

Gere duas amostras (p.ex.: //xf// e //yf//) de tamanho 1000 (n=1000) de números da distribuição Normal com média zero e desvio padrão 2)

Faça um gráfico plotando a soma das amostras X (//xp+xf//) contra a soma das amostras Y (//yp+yf//) (''plot(xp+xf,yp+yf)'').

Qual o padrão espacial observado?  Você consegue explicá-lo?

</box>

<box left red red  100% | //**Exercício 2.20.** Gráfico Quantil-Quantil //>
Construa uma seqüência **ordenada** de 1000 números entre 0 e 1:
<code>
> p = seq(0, 1, length=1000)
</code>
O vetor '''p''' representa um vetor de probabilidades acumuladas.

Gere 1000 números aleatórios da distribuição Normal com média e desvio-padrão 1 (um) e coloque os números em ordem:
<code>
> x = sort( rnorm(1000, mean=1) )
</code> 

Faça um gráfico dos quantis da distribuição Normal, tomando o vetor '''p''' de probabilidades, contra os valores de '''x''':
<code>
> plot( qnorm(p, mean=1), x )
</code>

Como é o gráfico resultante?  

Repita o mesmo processo para a distribuição Exponencial ( '''rexp''' ), cujo valor //default// resulta em média = 1 .  Como é o gráfico resultante? Por que?

</box>



===== Soluções dos Exercícios =====

{{:bie5782:03_apostila:exerc3apostila.r|Aqui}} você encontra os códigos que solucionam alguns dos exercícios propostos. 


Se o seu código for diferente, não quer dizer necessariamente que errou. Compare os dois resultados! Como qualquer linguagem, o R é criativo: em muitos casos há mais de uma maneira de solucionar um problema.
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