Os modelos lineares generalizados (GLMs) são usado quando a variância não é constante ou o erro do modelo não tem uma distribuição gaussiana (normal). A natureza da nossa variável resposta indica os desvios que iremos encontrar em relação aos pressupostos dos modelos lineares ( regressões ordinárias ).

O preditor linear está baseado na estrutura linear que temos visto nos modelos. Para uma variável preditora:

$$\eta = \alpha + \beta x$$

A função de ligação é o que relaciona o preditor linear com a esperança:

$$\eta = g(E_{(y)})$$

Para alguns tipos de famílias de variáveis temos funções de ligações padrões. As mais usadas são

No Rcommader (Rcmdr) vá ao menu Tools > Load package(s) e selecione o pacote MASS

Em sequida:

• abra o menu Data > Data in packages > Read data from an attached package…
• selecione o pacote MASS e os dados quine ¹⁾

Os dados estão relacionados ao estudo para entender quais variáveis estão relacionados à ausência (falta) do aluno na escola. A observação está relacionada a alunos amostrados aleatoriamente de escolas na Austrália.

Como entendemos que todas as variáveis e interações são possíveis e interpretáveis para a tomada de decisão sobre o permanência do aluno na escola, vamos construir o modelo cheio com todas as possibilidades de interações. Para isso vamos construir o modelo usando a família de erro POISSON e a função de ligação log.

• abra o menu Statistics > Fit model > Generalized Linear Model
• complete os campos como na figura abaixo

Um dos pressupostos do modelo Poisson é que a variância aumenta linearmente com a esperança (média do modelo). Podemos avaliar isso dividindo a Residual Deviance pelo seu degrees of freedom. Essa razão deve ser próxima a 1. O que não é o caso do nosso modelo. Nesses casos uma das alternativas é:

• ajustar o modelo usando Family: quasipoisson

Os modelos de proporção ou de resposta binária (presença/ausência, vivo/morto, sucessos/falhas) são modelados, normalmente, com estrutura do erro binomial. Nesses casos os limite dos valores da variável resposta é bem definido: entre 0 e 1. Essa característica faz com que o erro apresente uma estrutura que aumenta e depois diminuí, e normalmente o máximo de desvios é encontrado nos valores intermediários.

A função de ligação para modelos com resposta binária ou proporção é chamada de logit ou log odds-ratio. Pode ser definida como:

$$p = \log{(\frac{a+bx}{1-(a+bx)})}$$

O conjunto de dados que vamos usar, isolation.txt tem como variável:

O objetivo do estudo que gerou esses dados é saber se a ocorrência da ave (reprodução) está relacionada com o isolamento e tamanho da ilha.

• abra os dados isolation.txt no Rcmdr (a separação de campo é espaço)
• monte o model cheio com todas a variáveis preditoras e interações
• simplifique o modelo para o mínimo adequado

O modelo prevê a ocorrência da ave na escala de logaritmo da chance (log odds-ratio). Para interpretar tanto os coeficientes quanto os valores previsto é necessário aplicar a função inversa do logit:

$$logit^{-1}(\hat{y}) = \frac{1}{1+\frac{1}{e^{\hat{y}}}}$$

• calcule o predito pelo modelo e os coeficientes na escala original
• interprete o efeito do tamanho e distância na ocorrência da espécie

Para construir modelos onde as observações têm dependência espacial ou temporal, é preciso contemplar a variável com dependência como variável aleatória.

install.packages("lme4")
library(lme4)

Para um modelo onde a relação entre a preditora e a resposta não mudam, mas há um efeito relacionado aleatório relacionado à localidade ou o objeto da medida, construímos usamos o LMM da seguinte forma.

lmm01r <- lmer(Richness ~ NAP + (1|Beach), data=praia, REML =  FALSE)
lmm00r <- lmer(Richness ~ 1 + (1|Beach), data=praia, REML = FALSE)
anova(lmm00r, lmm01r)
lmm01 <- lmer(Richness ~ NAP + (1|Beach), data=praia, REML =  TRUE)
summary(lm001)

Para incluir a variável aleatória Beach também na inclinação é preciso mudar o termo de interação $$(1|Beach)$$ para:

$$(1 + NAP|Beach)$$