O coeficiente de determinação ($R^2$) expressa a proporção da variação de uma medida (variável resposta) que é explicada pela variação de outra (variável explanatória). Se supomos que a variação é explicada por uma relação linear, os cálculos são simples e ajudam muito a entender a lógica da partição da variação que está por trás do $R^2$.

Neste roteiro vamos usar a regressão linear e um conjunto pequeno de dados para entender o coeficiente de determinação.

Para começar, crie uma pasta para você na área de trabalho (desktop) do seu computador. Copie para essa pasta o arquivo com os dados que vamos usar:

dadinho.csv

Em seguida, abra o programa R, clicando no ícone que está na área de trabalho do seu computador.

Se tudo deu certo até aqui, abrirá uma janela do R como essa:

Já com a janela do programa R aberto, o próximo passo será mudar o diretório de trabalho para aquela pasta que você acabou de criar. Com isso será mais fácil importar os dados dos arquivos “.csv” para dentro do ambiente R.

A mudança de diretório deve ser feita da seguinte forma:

• Abra o Menu “Arquivo” (ou “File”);
• Selecione “Mudar dir” (ou “Change dir”);
• Escolha a sua pasta na janela que abrir.

[Obs. Para Mac, essa opção está no Menu “Misc” e a opção é “Change working dir”]

Para checar se você está na pasta correta, copie e cole o comando abaixo na linha de comando do R. Atenção: O comando deve ser colado na frente do símbolo “>”, circundado em azul na imagem anterior. Este símbolo indica o início da linha de comando ou “prompt”, onde você deve escrever comandos para o R.

getwd()

Após colar, aperte a tecla “enter” e veja se o R retorna o nome da sua pasta. Se sim, ótimo. Se não, chame um monitor ou professor.

Agora vamos importar para o R os dados que você gravou em seu diretório. Para isso copie o comando abaixo, cole na linha de comando do R e pressione “enter”:

dadinhos <- read.csv("dadinho.csv")

Se não houve nenhuma mensagem de erro agora você tem no R uma tabela com 8 linhas e duas colunas, que explicaremos a seguir. Se quiser verificar se a tabela foi importada, digite o nome dela no R

dadinhos

Nosso ponto de partida é a variação de uma variável, no caso Y. Uma das maneiras mais usadas na estatística para expressar a variação de medidas é sua dispersão em torno da média. Para isso, calculamos a diferença de cada valor de Y à média de todos os valores de Y. Vamos adicionar isso à nossa tabela de dados:

dadinhos$dif <- dadinhos$Y - mean(dadinhos$Y)
dadinhos

Visualmente o que fizemos foi calcular a distância de cada ponto (linhas tracejadas vermelhas) à média de todos os pontos no eixo Y, que está representada como uma linha horizontal azul:

Para resumir essas distâncias em um único número, as elevamos ao quadrado e somamos. Isso é chamado “soma dos desvios quadrados” ou simplesmente “soma dos quadrados”¹⁾. Ela expressa a variação total da variável Y.

Calcule essa soma no R com o comando a seguir, e guarde em um objeto chamado V.total

V.total <- sum(dadinhos$dif^2)

Lembrando que para ver o valor que vc obteve e armazenou neste objeto, basta digitar o nome do objeto na linha de comando seguinte:

V.total

Uma regressão linear busca explicar a variação observada em uma variável pela variação de outra. Se a regressão é bem sucedida, esperamos que reste pouca variação sem explicação, que chamamos de variação residual da regressão. Essa variação residual é a soma dos quadrados dos desvios de cada ponto à linha de regressão.

Na figura a seguir está a linha da regressão linear de Y em função da variável X, e os desvios de cada observação em relação a essa reta de regressão. Os resíduos da regressão (linhas tracejadas vermelhas) são bem menores que os desvios em relação à média, da figura anterior:

Como chegamos a esses valores na figura? Vamos calcular passo a passo. Primeiro ajustamos uma regressão, ou seja, procuramos uma reta que minimize as distâncias de todos os pontos a ela. Poderíamos fazer isso por meio de várias tentativas tentando ajustar a melhor reta, mas temos uma função no R, chamada “lm”, que faz isso analiticamente para nós:

dadinhos.lm <- lm(Y ~ X, data=dadinhos)

O intercepto ²⁾ e a inclinação da equação da reta ajustada são:

(dadinhos.cf <- coef(dadinhos.lm))

E agora, usando os valores do intercepto e da inclinação, calculamos, por meio da função “predict” os valores de Y previstos pela equação da reta para cada valor de X, e adicionamos esses valores na nossa tabela de dados:

dadinhos$Y.pred <- predict(dadinhos.lm)

Também vamos adicionar na nossa tabela a diferença entre os valores de Y reais e os valores de Y previstos, que são os resíduos da regressão (aquelas linhas vermelhas tracejadas na segunda figura):

dadinhos$residuo <- dadinhos$Y - dadinhos$Y.pred

Nossa tabela de dados agora tem cinco colunas:

dadinhos
  X        Y        dif    Y.pred    residuo
1 1 1.110051 -3.0608617 0.5497765  0.5602747
2 2 2.343195 -1.8277177 1.5843869  0.7588084
3 3 2.420523 -1.7503898 2.6189973 -0.1984742
4 4 2.590459 -1.5804543 3.6536077 -1.0631491
5 5 3.617083 -0.5538302 4.6882181 -1.0711354
6 6 5.311097  1.1401837 5.7228285 -0.4117319
7 7 7.564503  3.3935902 6.7574390  0.8070641
8 8 8.410393  4.2394798 7.7920494  0.6183433

A soma dos quadrados dos resíduos da regressão expressa a variação que restou da regressão. É a variação de Y que não é explicada pela variação de X, em uma regressão linear. Para calculá-la somamos os valores da coluna dos resíduos elevados ao quadrado:

V.resid <- sum(dadinhos$residuo^2)

E vemos que de fato essa variação residual é bem menor que a total:

V.resid

Acima calculamos a variação total de Y e a variação que resta em Y depois de considerarmos um efeito linear de X sobre Y. A soma dos quadrados, medida que escolhemos para expressar esses componentes de variação, tem uma propriedade muito útil. Se consideramos o efeito linear de X como a única fonte de explicação para Y, podemos então dizer que:

$$V_{total} = V_{explic} + V_{resid} $$

ou seja, que a soma dos quadrados total (variação total) é o resultado da adição da soma dos quadrados explicados (pela regressão) e da soma dos quadrados dos resíduos da regressão. Em outras palavras, estamos repartindo, ou particionando aditivamente a variação total de Y em dois componentes³⁾.

Como já calculamos $V_{total}$ e $V_{resid}$, podemos obter a variação explicada pela regressão com:

$$V_{explic} = V_{total} - V_{resid} $$

Que podemos calcular no R usando os valores acima, que armazenamos:

(V.expl <-  V.total - V.resid)

Obtemos o coeficiente de determinação dividindo $V_{explic}$ por $V_{total}$:

V.expl/V.total

Neste caso dizemos que 91% da variação de Y é explicada por X. Nada mal. Mas o que você poderia esperar de dados que a gente mesmo criou, né!