Em nossa saída a campo verificamos a situação atual de uma parte das árvores de Euterpe edulis marcadas em 2009 na parcela permanente da Ilha do Cardoso. Nesse roteiro vamos calcular probabilidades de permanência no período 2009-2017, e atualizar as projeções da dinâmica da população com modelos matriciais de populações estruturadas.

Vamos dividir as árvores nas mesmas classes de tamanho que usamos nos roteiros anteriores do módulo de dinâmica de populações:

• C: até 71 mm de dap (Jovens 1)
• B: de 71 a 90 mm de dap (Jovens 2)
• A: acima de 90 mm de dap (Adultos)

A tabela a seguir mostra o número de árvores vivas que havia em 2009 nas quadrículas de 20x20m que amostramos. Mostra também o número de árvores que encontramos vivas nessas quadrículas, em nosso trabalho de campo de 2017.

Quais os números esperados de palmitos em cada classe em 2017, se usamos as transições do período 2005-2009? Para descobrir é só usar a planilha do exercício de projeções com matrizes de transição:

1. Na planilha que faz os cálculos, substitua os valores iniciais (TEMPO 1) de árvores em cada classe pelos que estão na tabela acima, para 2009.
2. Compare os valores previstos após 8 anos (dado que cada intervalo de TEMPO se refere a 4 anos, observe os valores no TEMPO 3, ou seja, dois intervalos de tempo depois), com os valores obtidos em 2017.

Na seção anterior vimos que para prever o número de árvores em classe até 2017 aplicamos duas vezes a matriz de transições para 4 anos . Ou seja, para a classe dos adultos fazemos o cálculo:

$$ A_{t+2} = P_{(33)}A_{t+1} + P_{(32)}B_{t+1}$$

Onde:

• $A_{t+2}$ é o número de adultos projetado para dois intervalos de tempo adiante ¹⁾;
• $A_{t+1}$ e $B_{t+1}$ são os números de adultos e jovens 2 projetados para um intervalo;
• $P_{(33)}$ é a probabilidade de permanência na classe de adultos em um intervalo;
• $P_{(32)}$ é a probabilidade de transição da classe de Jovem 2 para adultos em um intervalo.

As quantidades $A_{t+1}$ e $B_{t+1}$ são obtidas por:

$$ A_{t+1} = P_{(33)}A_{t} + P_{(32)}B_{t}$$

$$ B_{t+1} = P_{(22)}B_{t} + P_{(21)}C_{t}$$

Onde:

• $A_{t}$, $B_{t}$ e $C_{t}$ são os números de adultos, Jovens 2 e Jovens 1 dois intervalos de tempo antes;
• $P_{(22)}$ é a probabilidade de permanência na classe Jovem 2, em um intervalo;
• $P_{(21)}$ é a probabilidade de transição da classe de Jovem 1 para Jovem 2 em um intervalo.

Como só temos valores para $t$ (2009) e $t+2$ (2017), vamos eliminar os termos para $t+1$ da nossa primeira expressão. Para isso apenas substituímos $A_{t+1}$ e $B_{t+1}$ pelas suas expressões, o que nos dá:

$$ A_{t+2} = P_{(33)}[P_{(33)}A_{t} + P_{(32)}B_{t}] \ + \ P_{(32)}[P_{(22)}B_{t} + P_{(21)}C_{t}]$$

Usando o mesmo raciocínio chegamos à expressão para número de indivíduos na classe Jovem 2 após dois intervalos:

$$ B_{t+2} = P_{(22)}[P_{(22)}B_{t} + P_{(21)}C_{t}] \ + \ P_{(21)}[P_{(11)}C_{t} + A_{t}F]$$

Onde:

• $P_{(11)}$ é a probabilidade de permanência da classe de Jovem 1.
• $F$ é a fecundidade de adultos (número de Jovens 1 produzidos por adulto em um intervalo);

Vamos supor que apenas as probabilidades de permanência das duas maiores classes de tamanho ($P_{(33)}$ e $P_{(22)}$) mudaram. Podemos então usar as expressões para $A_{t+2}$ e $B_{t+2}$ que deduzimos acima para encontrar os valores dessas transições. Para isso, usamos todos os valores conhecidos de abundâncias nas classes e as outras probabilidades que supomos não ter mudado. Os valores dos números de indivíduos em cada classe em $t+2$ e $t$ estão na tabela acima, e as probabilidades de transição estão na matriz de transições. Com esses valores nas expressões acima temos:

$$ 12 = P_{(33)}[P_{(33)} \times 31 + 0,053\times 167] \ + \ 0,053[P_{(22)} \times 167 + 0,736 \times 142]$$

$$ 90 = P_{(22)}[P_{(22)} \times 167 + 0,177 \times 142] \ + \ 0,177[0,736 \times 142 + 31 \times 1,105]$$

que é um sistema de duas equações com duas incógnitas, $p_{33}$ e $p_{22}$. Resolver esse sistema é encontrar os valores das incógnitas que satisfaçam as igualdades. Ou seja, é encontrar valores das taxas de permanência que resultem nos valores observados de Adultos e Jovens 2(B).

Tem um monte de conta aí, que felizmente o computador pode fazer para a gente. Usamos um sistema online para fazer isso e o resultado está aqui. Na seção solutions dessa página vemos os quatro pares de valores de $X=p_{33}$ e $Y=p_{22}$ que satisfazem o sistema de equações. Felizmente, de novo, há só um par com os dois valores positivos. Como as probabilidades são sempre positivas, essa é a solução que procuramos

Abra a planilha com a matriz de transição para a população de palmitos da parcela, construída com dados dos censos de 2005 e 2009. Substitua os valores de probabilidades de permanência pelos que obtivemos acima.