Os modelos de proporção de sucessos (sucessos/tentativas), proporção simple (%) ou de resposta binária (presença/ausência, vivo/morto) são modelados, normalmente, com estrutura do erro binomial. Nesses casos os limites dos valores da variável resposta é bem definido: entre 0 e 1. Além disso, a variância não é constante e varia conforme a média. Essas características fazem com que os resíduos apresentem uma estrutura que aumenta e depois diminuí, e normalmente o máximo de desvios é encontrado nos valores intermediários.

A estrutura da função de ligação é a mesma para qualquer modelo:

O preditor linear está associado à estrutura determinística do modelo e relacionado à linearização da relação, aqui definido como $\eta$:

$$ \eta = \alpha + \beta x$$

A função de ligação é o que relaciona o preditor linear com a esperança do modelo:

$$ \eta = g(E_{(y)}) $$

A função de ligação $g()$ para modelos com resposta binária ou proporção é chamada de logit ou log odds¹⁾, definida como:

$$ \eta = \log(\frac{p}{1-(\p)})$$

Para reverter o preditor linear da função logit para a escala de observação usa-se a função inversa:

$$ "logit"^{-1} = \frac{e^{\eta}}{(1+ e^{\eta})} $$

Mais um exemplo apresentado no livro do Michael Crawley, The R Book. Neste experimento o objetivo foi avaliar a floração de 5 variedades de plantas tratadas com hormônios de crescimento (6 concentrações). Depois de seis semanas as plantas foram classificadas em floridas ou vegetativas.

O objetivo do estudo que gerou esses dados é saber se o evento de floração é influenciado pelo dose de hormônio e a variedade da planta.

• baixe o arquivo flowering.txt
• abra os dados no Rcmdr (a separação de campo é espaço) com o nome flower
• crie a variável prop pelo menu Data> Manage variables in active data set> Compute new variable…, colocando no campo Expression to compute:

cbind(sucess = flowered, fail = number - flowered)

Esse comando acima cria uma nova variável nos dados flower chamada prop. Essa nova variável tem duas colunas (sucess e fail) contendo o número de plantas floridas e o número de plantas que não floresceram, respectivamente.

• use a variável prop como resposta (sucessos, falhas)
• monte o modelo cheio com todas a variáveis preditoras e interações
• simplifique o modelo para o mínimo adequado

Para interpretar tanto os coeficientes quanto os valores previsto é necessário aplicar a função inversa do logit, ou seja, nosso modelo faz previsões na escala de log(odds-ratio), nosso preditor linear $\eta$, e precisamos retornar para a escala de observação que é a probabilidade de florescer ($\hat{y}$):

$$\hat{y} = \frac{e^{\hat{\eta}}}{1+e^{\hat{\eta}}} $$

(preditoLinear <- predict("nomedomodelo"))
(preditoProp <- exp(preditoLinear)/(1+ exp(preditoLinear)))

predito <- predict("nomedomodelo", type = "response")
predito

Para um gráfico dos resultados use o menu:

Models > Graphs > Predict effect plots…

O conjunto de dados que vamos usar, isolation.txt tem como variável:

O objetivo do estudo que gerou esses dados é saber se a ocorrência da ave (reprodução) está relacionada com o isolamento e tamanho da ilha.

• abra os dados isolation.txt no Rcmdr (a separação de campo é espaço)
• monte o modelo cheio com todas a variáveis preditoras e interações
• simplifique o modelo para o mínimo adequado

O modelo prevê a ocorrência da ave na escala de logaritmo da chance (log odds-ratio). Para interpretar tanto os coeficientes quanto os valores previsto é necessário aplicar a função inversa do logit, como no exercício anterior:

Os modelo GLM poisson e binomial apresentam a variância acoplada à média dos valores, diferentemente dos modelos com distribuição normal onde a média e a variância são idependentes. Caso haja uma variação maior ou menor nos dados do que o previsto por essas distribuições, o modelo não consegue dar conta. Essa sobre-dispersão ou sub-dispersão dos dados indica que temos mais ou menos variação do que é predito pelos modelos. Isso pode ser decorrência de vários fontes de erro na definição do modelo, alguns exemplos são:

• o resíduo dos dados pode não ter sido gerado por um processo aleatório poisson ou binomial
• há mais variação do que predito pela ausência de preditoras importantes
• muitos zeros, além do predito pelas distribuições, em decorrência de diferentes processos: um que gera a ausência e outro que gera a variação nas ocorrências de sucesso